已知 $\sin\theta,\sin\alpha,\cos\theta$ 为等差数列，$\sin\theta,\sin\beta,\cos\theta$ 为等比数列，求 $\cos2\alpha-\dfrac12\cos2\beta$ 的值．
【难度】
【出处】
2006年清华大学保送生暨自主招生试题
【标注】
【答案】
$0$
【解析】
由题得$$2\sin\alpha=\sin\theta+\cos\theta , \sin^2\beta=\sin\theta\cos\theta,$$于是$$(2\sin\alpha)^2=1+2\sin^2\beta,$$即$$4\cdot\dfrac{1-\cos2\alpha}{2}=1+2\cdot\dfrac{1-\cos2\beta}{2},$$整理得$$\cos2\alpha-\dfrac12\cos2\beta=0.$$
答案
解析
备注
