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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
20654 5c7769ba210b284290fc25f9 高中 解答题 自招竞赛 两个不全等的等腰三角形的各边长度都为整数，且它们的面积相等，周长也相等。这两个三角形的底边长度之比为 $8:7$，求它们共同的周长的最小值。 2022-04-17 20:46:01
20651 5c7769cd210b284290fc2605 高中 解答题 自招竞赛 在 $\vartriangle ABC$ 中，$AC=13$，$BC=14$，$AB=15$ 。点 $M$，$D$ 在边 $AC$ 上，使得 $AM=MC$，$\angle ABD=\angle DBC$ 。点 $N$，$E$ 在边 $AB$ 上，使得 $AN=NB$，$\angle ACE=\angle ECB$ 。设 $P$ 是 $\vartriangle AMN$ 的外接圆与 $\vartriangle ADE$ 的外接圆的另一个交点。射线 $AP$ 交 $BC$ 于点 $Q$ 。 $\frac{BQ}{CQ}=\frac{m}{n}$，其中 $m$，$n$ 是互素的正整数。求 $m-n$ 的值。 2022-04-17 20:45:01
20626 5c8b1b56210b286d125ef296 高中 解答题 自招竞赛 $\odot O$ 半径5，弦 $AB$ 长 $30$，弦 $CD$ 长 $14$，且 $AB,CD$ 相交于 $P$ 。两弦中点距离为 $12$ 。 $O{{P}^{2}}=\frac{m}{n}$，其中 $m\text{,}n$ 为互质正整数。求 $m+n$ 模 $1000$ 的值。 2022-04-17 20:31:01
20623 5c8b1b67210b286d125ef2a2 高中 解答题 自招竞赛 点 $P$ 在正方形 $\square ABCD$ 对角线 $AC$ 上，满足 $AP>CP$ 。 ${{O}_{1}},{{O}_{2}}$ 分别为 $\Delta ABP,\Delta CDP$ 外接圆圆心。已知 $AB=12,\angle {{O}_{1}}P{{O}_{2}}={{120}^{\circ }}$，记 $AP=\sqrt{a}+\sqrt{b}$，其中 $a\text{,}b$ 为互质正整数。求 $a+b$ 。 2022-04-17 20:29:01
20608 5c8efec5210b286d125ef341 高中 解答题 自招竞赛 直角三角形 $\Delta ABC$ 中直角顶点为 $C$ 。 $D,E$ 在边 $AB$ 上，其中 $D$ 在 $A,E$ 之间且满足 $CD,CE$ 三分 $\angle C$ 。如果 $\frac{DE}{BE}=\frac{8}{15}$，$\tan B$ 可以写作 $\frac{m\sqrt{p}}{n}$，其中 $m\text{,}n$ 是互质的正整数，$p$ 是没有平方因子的正整数。求 $m+n+p$ 。 2022-04-17 20:21:01
20607 5c8efecd210b286d125ef347 高中 解答题 自招竞赛 $3$ 个同心圆半径分别为 $345$ 。一个等边三角形三个顶点分别在三个圆周上，边长为 $s$ 。满足条件的等边三角形面积最大值可写作 $a+\frac{b}{c}\sqrt{d}$，其中 $a\text{,}b\text{,}c\text{,}d$ 是正整数，$b\text{,}c$ 互质，$d$ 没有平方因子。求 $a+b+c+d$ 。 2022-04-17 20:21:01
20594 5c8f5696210b286d074541e9 高中 解答题 自招竞赛 等边三角形 $\Delta ABC$ 边长 $\sqrt{111}$ 。现有四个不同的三角形 $\Delta A{{D}_{1}}{{E}_{1}},\Delta A{{D}_{1}}{{E}_{2}},\Delta A{{D}_{2}}{{E}_{3}},\Delta A{{D}_{2}}{{E}_{4}}$ 均与 $\Delta ABC$ 全等，且 $B{{D}_{1}}=B{{D}_{2}}=\sqrt{11}$ 。求 $\displaystyle \sum\limits_{k\text{=}1}^{4}{{{\left( C{{E}_{k}} \right)}^{2}}}$ 2022-04-17 20:16:01
20592 5c8f56a3210b286d074541f5 高中 解答题 自招竞赛 三角形 $ABC$ 内接于圆 $\omega $，且 $AB=5,BC=7,AC=3$ 。 $\angle A$ 的角平分线与 $BC$ 相交于 $D$，与 $\omega $ 相交于 $E$ 。令 $\gamma $ 为以 $DE$ 为直径的圆。 $\omega \text{,}\gamma $ 的交点为 $E$ 和另一点 $F$ 。记 $A{{F}^{2}}=\frac{m}{n}$，$m\text{,}n$ 互质正整数。求 $m+n$ 。 2022-04-17 20:15:01
20585 5c90873e210b286d125ef3e8 高中 解答题 自招竞赛 一个矩形盒子长 $12$ 英寸，宽 $16$ 英寸，高 $\frac{m}{n}$，其中 $m\text{,}n$ 为互质正整数。盒子的三个面相交于盒子的一角。以这三个面的中心为顶点构成的三角形面积为 $30$ 平方英寸。求 $m+n$ 2022-04-17 20:11:01
20583 5c908748210b286d125ef3ef 高中 解答题 自招竞赛 纸做的等边三角形 $\Delta ABC$ 边长为 $12$ 。将三角形折叠使得 $A$ 落在 $BC$ 上，距离 $B$ $9$ 的位置。折痕的长度可以表示为 $\frac{m\sqrt{p}}{n}$，其中 $m\text{,}n$ 为互质正整数，$p$ 为没有平方因子的正整数。求 $m+n+p$ 2022-04-17 20:10:01
20580 5c90875e210b286d125ef400 高中 解答题 自招竞赛 $\Delta A{{B}_{0}}{{C}_{0}}$ 中，$A{{B}_{0}}=12,{{B}_{0}}{{C}_{0}}=17,{{C}_{0}}A=25$ 。对每个正整数 $n$，${{B}_{n}}\text{,}{{C}_{n}}$ 分别在 $A{{B}_{n-1}}\text{,}A{{C}_{n-1}}$ 上，且满足 $\Delta A{{B}_{n}}{{C}_{n}}-\Delta {{B}_{n-1}}{{C}_{n}}{{C}_{n-1}}-\Delta A{{B}_{n-1}}{{C}_{n-1}}$ 。所有 $\Delta {{B}_{n-1}}{{C}_{n}}{{B}_{n}}\left( n\geqslant 1 \right)$ 的并集覆盖的面积可表示为 $\frac{p}{q}$，其中 $p\text{,}q$ 为互质正整数。求 $q$ 2022-04-17 20:07:01
20567 5c91cd10210b286d0745427e 高中 解答题 自招竞赛 $\Delta ABC$ 中，$AC=BC$，$D$ 在 $BC$ 上且 $CD=3BD$ 。 $E$ 为 $AD$ 中点。已知 $CE=\sqrt{7},BE=3$，则 $\Delta ABC$ 的面积可表示为 $m\sqrt{n}$，其中 $m\text{,}n$ 为正整数且 $n$ 没有平方因子。求 $m+n$ 2022-04-17 20:00:01
20565 5c9308a8210b286d125ef4a8 高中 解答题 自招竞赛 运动鞋系带的 $8$ 个小孔在矩形的一对长边上，每个长边上各均匀排列 $4$ 个小孔。该矩形长 $80mm$，宽 $50mm$ 。矩形的四个顶点分别有一个小孔。如下图所示，鞋带须穿过矩形一宽边两端的小孔然后交叉穿过对边上相继的小孔直到穿到另一宽边两端的小孔。穿过所有小孔之后，鞋带两端需各剩余至少 $200mm$ 以便打结。求鞋带长度最少多少厘米 2022-04-17 20:58:00
20550 5c944b61210b286d125ef55d 高中 解答题 自招竞赛 如图1（1），一个矩形的边长分别为 $a$ 与 $36$ 。在矩形的每个顶点与长为 $36$ 的边的中点处各装了一个铰链，将长为 $a$ 的边向下压，在压的过程中保持长为 $a$ 的边互相平行，得到一个如图1（2）所示的凸六边形。当这两个六边形的长为 $a$ 的边互相平行，且距离为 $24$ 时，六边形的面积与原来的矩形面积相等，求 ${{a}^{2}}$ 的值。 2022-04-17 20:49:00
20540 5c944b9b210b286d0745432c 高中 解答题 自招竞赛 在 $\Delta ABC$ 中，$AB=10,\angle A\text{=}{{30}^{{}^\circ }}\text{,}\angle C\text{=}{{45}^{{}^\circ }}$，点 $H,D,M$ 都在直线 $BC$ 上，满足 $AH,BC$ 互相垂直，$\angle BAD=\angle CAD,BM=CM$ 。点 $N$ 是线段 $HM$ 的中点，点 $P$ 在射线 $AD$ 上且 $PN,BC$ 互相垂直。若 $A{{P}^{2}}=\frac{m}{n}$，其中 $m\text{,}n$ 是互质的正整数。求 $m+n$ 的值 2022-04-17 20:45:00
20533 5c9492ed210b286d07454375 高中 解答题 自招竞赛 $\Delta ABC$ 中，$AB=12,BC=25,CA=17$ 。矩形 $PQRS$ 的顶点 $P$ 在 $AB$ 上，$Q$ 在 $AC$ 上，$R,S$ 在 $BC$ 上。 $PQ=w$，则矩形 $PQRS$ 的面积有 $Area\left( PQSR \right)=\alpha w-\beta \cdot {{w}^{2}}$ 。系数 $\beta \text{=}\frac{m}{n}$，其中 $m,n$ 为互质的正整数。求 $m+n$ 2022-04-17 20:40:00
20448 5c9996b6210b280b2397e8f6 高中 解答题 自招竞赛 从区间 $\left( 0\text{,}75 \right)$ 独立均匀地随机取两个实数 $a\text{,}b$ 。平面上两点 $O,P$ 满足 $OP\text{=}200$ 。 $Q,R$ 在直线 $OP$ 同侧，使得 $\angle POQ\text{,}\angle POR$ 的角度分别为 $a,b$ 且 $\angle OQP,\angle ORP$ 均为直角。 $QR\leqslant 100$ 的概率为 $\frac{m}{n}$，其中 $m\text{,}n$ 为互质正整数。求 $m+n$ 2022-04-17 19:53:59
20413 5c9c2cbd210b280b2397e9fc 高中 解答题 自招竞赛 $\Delta ABC$ 中，$AB=30,BC=32,AC=34$ 。 $X$ 在边 $BC$ 上且不与端点重合，${{I}_{1}},{{I}_{2}}$ 分别为 $\Delta ABX,\Delta ACX$ 的内切圆圆心。当 $X$ 在 $BC$ 上移动时，求 $\Delta A{{I}_{1}}{{I}_{2}}$ 面积的最小值 2022-04-17 19:34:59
20411 5c9c2ccc210b280b2397ea07 高中 解答题 自招竞赛 David做了四根长度不同的木棍，这四根木棍可以做出 $3$ 个互不全等的四顶点共圆的凸四边形 $A,B,C$，这三个四边形外接圆半径均为 $1$ 。记 ${{\varphi }_{A}}$ 为四边形 $A$ 对角线构成的锐角的角度，${{\varphi }_{B}},{{\varphi }_{C}}$ 同理定义。已知 $\sin {{\varphi }_{A}}=\frac{2}{3},\sin {{\varphi }_{B}}=\frac{3}{5},\sin {{\varphi }_{C}}=\frac{6}{7}$，且 $A,B,C$ 面积均为 $K$ 。 $K$ 可以表示为 $\frac{m}{n}$，其中 $m\text{,}n$ 是互质的正整数。求 $m+n$ 2022-04-17 19:33:59
20402 5c9c34e4210b280b2256c0f5 高中 解答题 自招竞赛 凸四边形 $ABCD$ 中，$AB=CD=10,BC=14,AD=2\sqrt{65}$ 。 $ABCD$ 对角线交于点 $P$，$\Delta APB,\Delta CPD$ 面积之和等于 $\Delta BPC,\Delta APD$ 。求四边形 $ABCD$ 的面积 2022-04-17 19:28:59
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