$\Delta ABC$ 中，$AC=BC$，$D$ 在 $BC$ 上且 $CD=3BD$ 。 $E$ 为 $AD$ 中点。已知 $CE=\sqrt{7},BE=3$，则 $\Delta ABC$ 的面积可表示为 $m\sqrt{n}$，其中 $m\text{,}n$ 为正整数且 $n$ 没有平方因子。求 $m+n$
【难度】
【出处】
2013年第31届美国数学邀请赛Ⅱ（AIMEⅡ）
【标注】
【答案】
010
【解析】
设 $AE=ED=m\text{,}BD=k$，则 $CD\text{=}3k\text{,}AC\text{=}4k$，则由斯特瓦尔特定理（$CE$ 截 $\Delta ACD$）$2{{m}^{2}}+14\text{=}25{{k}^{2}}$ 。同样对 $DE$ 截 $\Delta CEB$ 使用斯特瓦尔特定理，$2{{m}^{2}}\text{=}17-6{{k}^{2}}$ 。因此 $k\text{=}1\text{,}m\text{=}\frac{\sqrt{22}}{2}$ 。注意到面积关系：$\left[ CED \right]=\left[ CAE \right]=3\left[ EDB \right]=3\left[ AEB\right]=\frac{3}{8}\left[ ABC \right]$ 。由海伦公式，$\left[ ABC \right]=3\sqrt{7}$，故所求值为 $010$
答案
解析
备注
