在 $\Delta ABC$ 中，$AB=10,\angle A\text{=}{{30}^{{}^\circ }}\text{,}\angle C\text{=}{{45}^{{}^\circ }}$，点 $H,D,M$ 都在直线 $BC$ 上，满足 $AH,BC$ 互相垂直，$\angle BAD=\angle CAD,BM=CM$ 。点 $N$ 是线段 $HM$ 的中点，点 $P$ 在射线 $AD$ 上且 $PN,BC$ 互相垂直。若 $A{{P}^{2}}=\frac{m}{n}$，其中 $m\text{,}n$ 是互质的正整数。求 $m+n$ 的值
【难度】
【出处】
2014年第32届美国数学邀请赛Ⅱ（AIMEⅡ）
【标注】
【答案】
077
【解析】
如图，$M$ 是 $BC$ 中点，$N$ 是 $HM$ 中点；$AHC$ 是等腰直角三角形，故 $\angle HAB={{15}^{{}^\circ}}$；$AHD$ 是 $30-60-90$ 的三角形；$AH\parallel PN$，故 $PND$ 也是 $30-60-90$ 的三角形 结合以上，我们得到 $AD=2HD,PD=2ND,AP=AD-PD=2HD-2ND=2HN=HM$ 。于是我们有 $AP=HM=HB+BM$ 。由正弦定理，$\frac{BC}{AB}=\frac{\sin \angle A}{\sin \angle C}\to\frac{BC}{10}\text{=}\frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}\Rightarrow BC\text{=}5\sqrt{2}$ 。在直角三角形 $AHB$ 中，$HB=10\sin {{15}^{{}^\circ}}\text{=}\frac{5\left( \sqrt{6}-\sqrt{2} \right)}{2}$ 。所以 $AP=HM=HB+BM=\frac{5\left(\sqrt{6}-\sqrt{2} \right)}{2}+\frac{5\sqrt{2}}{2}=\frac{5\sqrt{6}}{2}$，$A{{P}^{2}}=\frac{75}{2}$，所以我们求的值为 $75+2=077$
答案
解析
备注
