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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
22621 59ba35d398483e0009c7316c 高中 解答题 高中习题 若集合 $A,B,C$ 满足 $A\cap B=\varnothing$，且 $A\cup B=C$，则称 $(A,B)$ 为 $C$ 的一个分割． 2022-04-17 20:56:19
22620 59ba35d398483e0009c73172 高中 解答题 高中习题 一张长方形白纸 $ABCD$，其中 $AD=1$，$AB=a$（$a\geqslant 1$）．设 $D_1$ 是边 $AB$ 上一点，记 $AD_1=x$．现拿起白纸的顶点 $D$，将点 $D$ 折向 $D_1$，并保证端点 $D$ 与 $D_1$ 重合．设折后得到的图形中，不在原来的长方形 $ABCD$ 范围的部分面积为 $S$． 2022-04-17 20:55:19
22614 59ba35d398483e0009c7318e 高中 解答题 高中习题 设数列 $\{a_n\},\{b_n\},\{c_n\},\{d_n\}$ 满足 $a_1=a$，$b_1=b$，$c_1=c$，$d_1=d$，对任意正整数 $n$，均有\[\begin{split}
a_{n+1}&=\left|a_n-b_n\right|,\\
b_{n+1}&=\left|b_n-c_n\right|,\\
c_{n+1}&=\left|c_n-d_n\right|,\\
d_{n+1}&=\left|d_n-a_n\right|
,\end{split}\]求证：对任意正整数 $a,b,c,d$，均存在正整数 $m$，使得 $a_m=b_m=c_m=d_m=0$．		 2022-04-17 20:52:19
22612 59c0d1f6f14e16000705c828 高中 解答题 高中习题 在周长为 $6$ 的三角形 $ABO$ 中，$\angle AOB=60^\circ$，点 $P$ 在边 $AB$ 上，$PH\perp OA$ 于 $H$，且 $PH=\dfrac{\sqrt 3}2$，$OP=\dfrac{\sqrt 7}2$，求 $OA$． 2022-04-17 20:52:19
22508 59269d7f74a309000997fbcd 高中 解答题 高中习题 已知函数 $y=f(x),x\in\mathbb N^{*},y\in\mathbb N^{*}$，满足：
① 对任意 $a,b\in\mathbb N^{*}$，$a\ne b$，都有 $af(a)+bf(b)>af(b)+bf(a)$；
② 对任意 $n\in\mathbb N^{*}$ 都有 $f[f(n)]=3n$．		 2022-04-17 20:51:18
22504 59277ec274a309000997fbdb 高中 解答题 高考真题 已知函数 $f(x)=1+\dfrac 2x$，数列 $\{a_n\}$ 中，$a_1=a$，$a_{n+1}=f(a_n)(n\in {\mathbb N^+})$．当 $a$ 取不同的值时，得到不同的数列 $\{a_n\}$，如
当 $a=1$ 时，得到无穷数列 $1,3,\dfrac 53 ,\dfrac{11}{5},\cdots $；
当 $a=2$ 时，得到常数列 $2,2,2,\cdots$；
当 $a=-2$ 时，得到有穷数列 $-2,0$．		 2022-04-17 20:50:18
22502 5927845474a309000997fbf0 高中 解答题 高考真题 已知每项均是正整数的数列 ${a_1}$，$ {a_2} $，$ {a_3} $，$ \cdots $，${a_{n}}$，其中等于 $i$ 的项有 ${k_i}$ 个 $\left(i = 1,2,3, \cdots \right)$，设 ${b_j} = {k_1} + {k_2} + \cdots + {k_j }\left(j = 1,2,3, \cdots \right)$，$g\left(m\right) = {b_1} + {b_2} + \cdots + {b_m} - nm \left(m = 1,2,3, \cdots \right)$． 2022-04-17 20:48:18
22501 592784e274a309000ad0ce63 高中 解答题 高考真题 定义 $\tau(a_1,a_2,\cdots ,a_n)=|a_1-a_2|+|a_2-a_3|+\cdots +|a_{n-1}-a_n|$ 为有限项数列 $\{a_n\}$ 的波动强度． 2022-04-17 20:47:18
22498 592785dd74a309000798cdc1 高中 解答题 高考真题 对于 $n \in {\mathbb N^{\ast}}\left(n \geqslant 2\right)$，定义一个如下数阵：\[{A_{nn}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{{a_{11}}}&{{a_{12}}}& \cdots &{{a_{1n}}} \\
{{a_{21}}}&{{a_{22}}}& \cdots &{{a_{2n}}} \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
{{a_{n1}}}&{{a_{n2}}}& \cdots &{{a_{nn}}}
\end{array}} \right)\]其中对任意的 $1 \leqslant i \leqslant n$，$1 \leqslant j \leqslant n$，当 $i$ 能整除 $j$ 时，${a_{ij}} = 1$；当 $i$ 不能整除 $j$ 时，${a_{ij}} = 0$．设 $\displaystyle t\left(j\right) = \sum\limits_{i = 1}^n {{a_{ij}}} = {a_{1j}} + {a_{2j}} + \cdots + {a_{nj}}$．		 2022-04-17 20:46:18
22497 5927866474a309000798cdc4 高中 解答题 高考真题 已知 $S_n=\left\{A \left|\right. A=\left(a_1,a_2,a_3,\cdots,a_n\right),a_i\in\{0, 1\},i=1,2,3,\cdots,n\right\}$ $\left(n\geqslant 2\right)$，对于 $U,V \in S_n$，$d\left(U,V\right)$ 表示 $ U $ 和 $ V $ 中相对应的元素不同的个数． 2022-04-17 20:45:18
22494 5927885174a309000798cdca 高中 解答题 高考真题 对于数列 $A:{a_1},{a_2}, \cdots ,{a_n}$，若满足 ${a_i} \in \left\{ {0,1} \right\}\left( {i = 1,2,3, \cdots ,n} \right)$，则称数列 $A$ 为“$0 - 1$ 数列”．定义变换 $T$，$T$ 将“$0 - 1$ 数列”$A$ 中原有的每个 $1$ 都变成 $0$，$1$，原有的每个 $0$ 都变成 $1$，$0$．例如 $A:1,0,1$，则 $T\left(A\right):0,1,1,0,0,1$ 设 ${A_0}$ 是“$0 - 1$ 数列”，令 ${A_k} = T\left( {{A_{k - 1}}} \right), k = 1,2,3, \cdots $． 2022-04-17 20:44:18
22492 592789c974a309000ad0ce7a 高中 解答题 高中习题 在数列 $\{a_{n}\}$ 中，若 $a_{1},a_{2}$ 是正整数，且 $a_{n}=\left|a_{n-1}-a_{n-2}\right|$，$n=3,4,5,\cdots$，则称 $\{a_{n}\}$ 为“绝对差数列”． 2022-04-17 20:43:18
22491 59278a4674a309000813f66f 高中 解答题 高中习题 已知集合 $A=\{a_{1},a_{2},\cdots,a_{k}\}(k\geqslant 2)$，其中 $a_{i}\in\mathbb Z(i=1,2,\cdots,k)$，由 $A$ 中的元素构成两个相应的集合：\[S=\{(a,b)\mid a\in A,b\in A,a+b\in A\}, T=\left\{(a,b)\mid a\in A,b\in A,a-b\in A\right\}.\]其中 $(a,b)$ 是有序数对，集合 $S$ 和 $T$ 中的元素个数分别为 $m,n$．若对于任意的 $a\in A$，总有 $-a\not \in A$，则称集合 $A$ 具有性质 $P$． 2022-04-17 20:42:18
22490 59278a8674a309000997fbfd 高中 解答题 高中习题 对于每项均是正整数的数列 $A$：$a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}$，定义变换 $T_{1}$，$T_{1}$ 将数列 $A$ 变换成数列 $T_{1}(A)$：$n,a_{1}-1,a_{2}-1,\cdots,a_{n}-1$．对于每项均是非负整数的数列 $B:b_{1},b_{2},\cdots,b_{m}$，定义变换 $T_{2}$，$T_{2}$ 将数列 $B$ 各项从大到小排列，然后去掉所有为零的项，得到数列 $T_{2}(B)$；又定义\[S(B)=2(b_{1}+2b_{2}+\cdots+mb_{m})+b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+\cdots+b_{m}^{2}.\]设 $A_{0}$ 是每项均为正整数的有穷数列，令 $A_{k+1}=T_{2}\left(T_{1}(A_{k})\right)(k=0,1,2,\cdots)$． 2022-04-17 20:42:18
22487 59278d4874a309000997fc03 高中 解答题 高考真题 用 $[a]$ 表示不大于 $a$ 的最大整数．令集合 $P=\{1,2,3,4,5\}$，对任意 $k\in P$ 和 $m\in \mathbb N^+$，定义 $\displaystyle f(m,k)=\sum\limits_{i=1}^{5}\left[m\sqrt{\dfrac{k+1}{i+1}}\right]$，集合 $A=\{m\sqrt{k+1}\mid m\in {\mathbb N^+},k\in P\}$，并将集合 $A$ 中的元素按照从小到大的顺序排列，记为数列 $\{a_n\}$． 2022-04-17 20:40:18
22485 59278e7874a309000ad0ce88 高中 解答题 高考真题 对于定义域分别为 $M,N$ 的函数 $y=f(x),y=g(x)$，规定：
函数 $h(x)=\begin{cases}f(x)g(x),x\in M\cap N\\ f(x),x\in M\cap \complement_{\mathbb R}N\\ g(x),x\in N\cap \complement_{\mathbb R}M\end{cases}$．		 2022-04-17 20:39:18
22479 59bbd5208b403a0008ec5ebb 高中 解答题 高中习题 求证：$\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1}k(n-k)={\rm C}_{n+1}^3$． 2022-04-17 20:36:18
22466 59bbd59a8b403a0008ec5f68 高中 解答题 高中习题 已知 $\triangle ABC$ 外接圆的直径为 $d$，正三角形 $\triangle DEF$ 的三个顶点分别在 $\triangle ABC$ 的三边上，求证：$\triangle DEF$ 的边长的最小值为\[\dfrac{d\cdot\sin A\sin B\sin C}{\sqrt{1+\sqrt 3\cdot \sin A\sin B\sin C+\cos A\cos B\cos C}}.\] 2022-04-17 20:28:18
22392 5a03c41ee1d4630009e6d2f1 高中 解答题 高中习题 已知函数 $f\left(n\right)\left(n\in \mathbb N^{\ast}\right)$ 满足条件：
① $f\left(2\right)=2$；
② $f\left(xy\right)=f\left(x\right)\cdot f\left(y\right)$；
③ $f\left(n\right)\in \mathbb N^{\ast}$；
④ 当 $x>y$ 时，有 $f\left(x\right)>f\left(y\right)$．		 2022-04-17 20:50:17
22328 59bbd59b8b403a0008ec5f74 高中 解答题 高中习题 已知集合 $A(n)=\left\{k\mid 1\leqslant k\leqslant \dfrac{3^n-1}{2},k\in\mathbb N^{\ast}\right\}$（$n\geqslant 2$ 且 $n\in\mathbb N^{\ast}$）．若存在非空集合 $S_1,S_2,\cdots,S_n$，使得 $A(n)=S_1\cup S_2\cup \cdots \cup S_n$，且 $S_i\cap S_j=\varnothing $（$1\leqslant i<j\leqslant n$），并对任意 $x,y\in S_i$（$i=1,2,\cdots,n$），$x>y$，都有 $x-y\notin S_i$，则称集合 $A(n)$ 具有性质 $P$，$S_i$（$i=1,2,\cdots,n$）称为集合 $A(n)$ 的 $P$ 子集． 2022-04-17 20:15:17
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