题目 已知集合 $A=\{a_{1},a_{2},\cdots,a_{k}\}(k\geqslant 2)$，其中 $a_{i}\in\mathbb Z(i=1,2,\cdots,k)$，由 $A$ 中的元素构成两个相应的集合：\[S=\{(a,b)\mid a\in A,b\in A,a+b\in A\}, T=\left\{(a,b)\mid a\in A,b\in A,a-b\in A\right\}.\]其中 $(a,b)$ 是有序数对，集合 $S$ 和 $T$ 中的元素个数分别为 $m,n$．若对于任意的 $a\in A$，总有 $-a\not \in A$，则称集合 $A$ 具有性质 $P$． 问题1 检验集合 $\{0,1,2,3\}$ 与 $\{1,2,3\}$ 是否具有性质 $P$ 并对其中具有性质 $P$ 的集合，写出相应的集合 $S$ 和 $T$； 答案1 集合 $\{0,1,2,3\}$ 不具有性质 $P$．<br/>集合 $\{-1,2,3\}$ 具有性质 $P$，其相应的集合 $S=\{(-1,3),(3,-1)\}$ 和 $T=\{(2,-1),(2,3)\}$ 解析1 略 备注1 问题2 对任何具有性质 $P$ 的集合 $A$，证明：$n\leqslant \dfrac{k(k-1)}{2}$； 答案2 略 解析2 由 $A$ 中元素构成的有序数对 $(a_{i},a_{j})$ 共有 $k^{2}$ 个．因为当 $0\in A$ 时，有$$(a_{i},a_{i})\in T,i=1,2,\cdots,k,$$又因为当 $a\in A$ 时，$-a\notin A$，所当 $\left(a_{i},a_{j}\right)\in T$ 时，$$(a_{j},a_{i})\not\in T,i,j=1,2,\cdots,k,i\ne j.$$从而，集合 $T$ 中元素的个数最多为\[\dfrac{1}{2}(k^{2}-k)=\dfrac{k(k-1)}{2},\]即 $n\leqslant \dfrac{k(k-1)}{2}$． 备注2 问题3 判断 $m$ 和 $n$ 的大小关系，并证明你的结论． 答案3 $m=n$，证明略 解析3 $m=n$，证明如下：<br/><case>一方面</case>对于 $(a,b)\in S$，根据定义，$a\in A$，$b\in A$，且 $a+b\in A$，从而 $(a+b,b)\in T$．如果 $(a,b)$ 与 $(c,d)$ 是 $S$ 的不同元素，那么 $a=c$ 与 $b=d$ 中至少有一个不成立，从而 $a+b=c+d$ 与 $b=d$ 中也至少有一个不成立．<br/>故 $(a+b,b)$ 与 $(c+d,d)$ 也是 $T$ 的不同元素．可见，$S$ 中元素的个数不多于 $T$ 中元素的个数，即 $m\leqslant n$．<br/><case>另一方面</case>对于 $(a,b)\in T$，根据定义，$a\in A,b,\in A$，且 $a-b\in A$，从而 $(a-b,b)\in S$．如果 $(a,b)$ 与 $(c,d)$ 是 $T$ 的不同元素，那么 $a=c$ 与 $b=d$ 中至少有一个不成立，从而 $a-b=c-d$ 与 $b-d$ 中也不至于有一个不成立，故 $(a-b,b)$ 与 $(c-d,d)$ 也是 $S$ 的不同元素．<br/>可见，$T$ 中元素的个数不多于 $S$ 中元素的个数，即 $n\leqslant m$．<br/>综上所述，$m=n$． 备注3