题目 对于定义域分别为 $M,N$ 的函数 $y=f(x),y=g(x)$，规定：<br/>函数 $h(x)=\begin{cases}f(x)g(x),x\in M\cap N\\ f(x),x\in M\cap \complement_{\mathbb R}N\\ g(x),x\in N\cap \complement_{\mathbb R}M\end{cases}$． 问题1 若函数 $f(x)=\dfrac 1{x+1}$，$g(x)=x^2+2x+2$，$x\in \mathbb R$，求函数 $h(x)$ 的取值集合； 答案1 $(-\infty,-2]\cup\{1\}\cup[2,+\infty)$ 解析1 由函数$$f(x)=\dfrac 1{x+1} , g(x)=x^2+2x+2 , x\in \mathbb R,$$可得 $M=\{x|x\ne 1\}$，$N=\mathbb R$，从而$$h(x)=\begin{cases}1,&x=-1\\ x+1+\dfrac 1{x+1},&x\ne -1.\end{cases}$$当 $x>-1$ 时，$h(x)\geqslant 2$；当 $x<-1$ 时，$h(x)\leqslant -2$．所以 $h(x)$ 的取值集合为$$(-\infty,-2]\cup\{1\}\cup[2,+\infty).$$ 备注1 问题2 若 $f(x)=1$，$g(x)=x^2+2x+2$，设 $b_n$ 为曲线 $y=h(x)$ 在点 $(a_n,h(a_n))$ 处切线的斜率；而 $\{a_n\}$ 是等差数列，公差为 $1$（$n\in \mathbb N^+$），点 $P_1$ 为直线 $l$：$2x-y+2=0$ 与 $x$ 轴的交点，点 $P_n$ 的坐标为 $(a_n,b_n)$．求证：$\dfrac 1{|P_1P_2|^2}+\dfrac 1{|P_1P_3|^2}+\cdots +\dfrac 1{|P_1P_n|^2}<\dfrac 25$； 答案2 略 解析2 由题意得$$h(x)=x^2+2x+2,$$所以$$h'(x)=2x+2,$$所以$$b_n=g'(a_n)=2a_n+2.$$显然点 $P_n(a_n,b_n)$ 在直线 $l$ 上，且 $a_1=-1$．因为 $\{a_n\}$ 是等差数列，公差为 $1$，所以$$a_n=n-2,b_n=2n-2.$$故 $P_n(n-2,2n-2)$，又 $P_1(-1,0)$，所以$$|P_1P_n|=\sqrt 5(n-1),n\geqslant 2,$$所以\[\begin{split}&\dfrac 1{|P_1P_2|^2}+\dfrac 1{|P_1P_3|^2}+\cdots +\dfrac 1{|P_1P_n|^2}\\=&\dfrac 15 \left[1+\dfrac 1{2^2}+\dfrac 1{3^2}+\cdots +\dfrac 1{(n-1)^2}\right]\\<&\dfrac 15\left[1+\dfrac 1{1\cdot 2}+\dfrac 1{2\cdot 3}+\cdots +\dfrac 1{(n-2)(n-1)}\right]\\=&\dfrac 15\left[1+1-\dfrac 1{n-1}\right]<\dfrac 25.\end{split}\] 备注2 问题3 若 $g(x)=f(x+\alpha)$，其中 $\alpha$ 是常数，且 $\alpha \in [0,2\pi]$，请问，是否存在一个定义域为 $\mathbb R$ 的函数 $y=f(x)$ 及一个 $\alpha$ 的值，使得 $h(x)=\cos x$，若存在请写出一个 $f(x)$ 的解析式及一个 $\alpha$ 的值，若不存在请说明理由． 答案3 $f(x)=1+\sqrt 2 \sin{\dfrac x2}$，且 $\alpha=2\pi$ 解析3 由函数 $y=f(x)$ 的定义域为 $\mathbb R$，得 $g(x)=f(x+\alpha)$ 的定义域为 $\mathbb R$，所以对于任意 $x\in \mathbb R$，都有$$h(x)=f(x)\cdot g(x),$$即对于任意 $x\in \mathbb R$，都有$$\cos x =f(x)\cdot f(x+\alpha).$$所以考虑将 $\cos x$ 分解成两个函数的乘积，而且这两个函数还可以通过平移相互转化．<br/>因为$$\begin{split}\cos x &=1-2\sin ^2 {\dfrac x2}\\ &=\left(1+\sqrt 2 \sin {\dfrac x2}\right)\left(1-\sqrt 2 \sin{\dfrac x2}\right),\end{split}$$所以令 $f(x)=1+\sqrt 2 \sin{\dfrac x2}$，且 $\alpha=2\pi$ 即可（答案不唯一）． 备注3 $(3)$ 中解不唯一，因为\[\begin{split}\cos x&=\cos^2{\dfrac x2}\\ &=\left(\cos {\dfrac x2}+\sin{\dfrac x2}\right)\left(\cos {\dfrac x2}-\sin{\dfrac x2}\right)\\ &=\sqrt 2 \cos \left(\dfrac x2 -\dfrac {\pi}{4}\right)\cdot \sqrt 2 \cos \left(\dfrac x2+\dfrac {\pi}{4}\right).\end{split}\]令 $f(x)=\sqrt 2 \cos \left(\dfrac x2 -\dfrac{\pi}{4}\right)$，且 $\alpha =\pi$ 亦满足条件．