题目 若集合 $A,B,C$ 满足 $A\cap B=\varnothing$，且 $A\cup B=C$，则称 $(A,B)$ 为 $C$ 的一个分割． 问题1 已知集合 $A_1=\left\{x\mid \tan\left(\dfrac{\pi x}2+\dfrac{\pi}4\right)=-1,x\in\mathbb R\right\}$，集合 $B_1=\{x\mid \cos(\pi x)=1,x\in\mathbb R\}$，集合 $C_1=\{x\mid \sin(\pi x)=0,x\in\mathbb R\}$，问 $(A_1,B_1)$ 是否为 $C_1$ 的一个分割？请说明理由． 答案1 是 解析1 根据题意，有 $A_1=\{ x\mid x=2k+1,k\in\mathbb Z\}$，$B_1=\{x\mid x=2k,k\in\mathbb Z\}$，$C_1=\mathbb Z$．因此 $(A_1,B_1)$ 是 $C_1$ 的一个分割． 备注1 问题2 设函数 $f(x)=\sqrt{\dfrac{x-a}{x-b}}$（$a>b$）及\[g(x)=\dfrac{\sin(\lambda+\mu)x}{\sin(\lambda-\mu)x}+\dfrac{\cos(\lambda+\mu)x}{\cos(\lambda-\mu)x},\lambda,\mu\in\mathbb R,\]记 $A_2=\{x \mid y =f(x)\}$，$B_2=\{ y \mid y=g(x)\}$，已知当 $\lambda=5$，$\mu=4$ 时，$(A_2,B_2)$ 为 $\mathbb R$ 的一个分割．若平行四边形 $P_1P_2P_3P_4$ 的四个顶点都在函数 $h(x)={\log_2}\dfrac{x+1}{x-1}$ 的图象上，且 $P_1$ 点的横坐标为 $a-7$，$P_2$ 点的横坐标为 $-\dfrac 23b$，试求平行四边形 $P_1P_2P_3P_4$ 的面积． 答案2 $\dfrac{26}3$ 解析2 根据题意，$A_2=(-\infty,b)\cup [a,+\infty)$，于是 $B_2=[b,a)$．而\[g(x)=\dfrac{\sin 9x}{\sin x}+\dfrac{\cos 9x}{\cos x},\]也即\[g(x)=\dfrac{2\sin 10x}{\sin 2x},\sin 2x\ne 0.\]考虑到\[\sin 5\theta=5\cos^4\theta\sin\theta-10\cos^2\theta\sin^3\theta+\sin^5\theta,\]于是令 $t=\cos^22x$，$t\in[0,1)$，$m=g(x)$，则\[m=10t^2-20t(1-t)+2(1-t)^2=32t^2-24t+2,\]于是 $m$ 的取值范围是 $\left[-\dfrac 52,10\right)$．进而可得 $P_1(3,1)$，$P_2\left(\dfrac 53,2\right)$，因为 $O$ 是函数 $h(x)$ 的对称中心，所以平行四边形 $P_1P_2P_3P_4$ 的面积\[S_{P_1P_2P_3P_4}=4S_{\triangle OP_1P_2}=4\cdot \dfrac 12\left|3\cdot 2-\dfrac 53\cdot 1\right|=\dfrac{26}3.\] 备注2 每日一题[1018]拨云见日．