设数列 $\{a_n\},\{b_n\},\{c_n\},\{d_n\}$ 满足 $a_1=a$，$b_1=b$，$c_1=c$，$d_1=d$，对任意正整数 $n$，均有\[\begin{split}
a_{n+1}&=\left|a_n-b_n\right|,\\
b_{n+1}&=\left|b_n-c_n\right|,\\
c_{n+1}&=\left|c_n-d_n\right|,\\
d_{n+1}&=\left|d_n-a_n\right|
,\end{split}\]求证：对任意正整数 $a,b,c,d$，均存在正整数 $m$，使得 $a_m=b_m=c_m=d_m=0$．
a_{n+1}&=\left|a_n-b_n\right|,\\
b_{n+1}&=\left|b_n-c_n\right|,\\
c_{n+1}&=\left|c_n-d_n\right|,\\
d_{n+1}&=\left|d_n-a_n\right|
,\end{split}\]求证：对任意正整数 $a,b,c,d$，均存在正整数 $m$，使得 $a_m=b_m=c_m=d_m=0$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
记 $(a_{n+1},b_{n+1},c_{n+1},d_{n+1})=f(a_n,b_n,c_n,d_n)$，并称 $f$ 为一次操作．由于如果得到的四个数均不为 $0$，那么经过 $1$ 次操作后得到的四个数的最大数至少减少 $1$，因为最大数有限，因此必然在经过有限次操作之后每一步得到的四个数中始终存在 $0$（即四个数均非零的情况再也不会出现）．
考虑剩下的三个数 $a,b,c$，若它们互不相等，则经过一次操作后\[(0,a,b,c)\to (a,|a-b|,|b-c|,c),\]有非零的数出现，矛盾，所以 $a,b,c,0$ 中必然会出现相等的数．
情形一 得到 $(0,a,a,b)$，接下来得到 $(a,0,|a-b|,b)$，要保证操作后继续出现零，此时应有 $|a-b|=b$ 或 $a=b$．先考虑 $|a-b|=b$，此时有 $a=0$ 或 $a=2b$，且操作如下\[(a,0,b,b)\to (a,b,0,b)\to \left(b,b,b,b\right),\]所以 $b=0=a$；若 $a=b$，则有\[(0,a,a,a)\to(a,0,0,a)\to(a,0,a,0)\to(a,a,a,a),\]所以 $a=0$；
情形二 得到 $(0,a,b,a)$，接下来得到 $(a,|a-b|,|a-b|,a)$ 中有零，所以 $a=0$ 或 $a=b$，与情形一类似；
情形三 得到 $(0,b,a,a)$，与情形一类似；
情形四 $a,b,c$ 中有零，操作一次必对应上面三种情形之一．
综上所述，原命题得证．
考虑剩下的三个数 $a,b,c$，若它们互不相等，则经过一次操作后\[(0,a,b,c)\to (a,|a-b|,|b-c|,c),\]有非零的数出现，矛盾，所以 $a,b,c,0$ 中必然会出现相等的数．
综上所述，原命题得证．
答案
解析
备注
