对于每项均是正整数的数列 $A$：$a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}$，定义变换 $T_{1}$，$T_{1}$ 将数列 $A$ 变换成数列 $T_{1}(A)$：$n,a_{1}-1,a_{2}-1,\cdots,a_{n}-1$．对于每项均是非负整数的数列 $B:b_{1},b_{2},\cdots,b_{m}$，定义变换 $T_{2}$，$T_{2}$ 将数列 $B$ 各项从大到小排列，然后去掉所有为零的项，得到数列 $T_{2}(B)$；又定义\[S(B)=2(b_{1}+2b_{2}+\cdots+mb_{m})+b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+\cdots+b_{m}^{2}.\]设 $A_{0}$ 是每项均为正整数的有穷数列，令 $A_{k+1}=T_{2}\left(T_{1}(A_{k})\right)(k=0,1,2,\cdots)$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
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如果数列 $A_{0}$ 为 $5,3,2$，写出数列 $A_{1},A_{2}$；标注答案$4,3,2,1$，$4,3,2,1$解析由题意，$A_1=T_2(T_{1}(A_{0})):4,3,2,1$，所以 $A_2=T_2(T_1(A_1)):4,3,2,1$．
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对于每项均是正整数的有穷数列 $A$，证明：$S\left(T_{1}(A)\right)=S(A)$；标注答案略解析因为\[\begin{split}S(A)&=2(a_{1}+2a_{2}+\cdots+na_{n})+a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\cdots+a_{n}^{2}\\&=(a_{1}+1)^{2}+(a_{2}+1)^{2}+\cdots+(a_{n}+n)^{2}-(1^{2}+2^{2}+\cdots+n^{2}).\end{split}\]于是\[\begin{split}S\left(T_{1}(A)\right)&=(n+1)^{2}+(a_{1}+1)^{2}+(a_{2}+2)^{2}+\cdots+(a_{n}+n)^{2}-\left[1^{2}+2^{2}+\cdots+(n+1)^{2}\right]\\&=(a_{1}+1)^{2}+(a_{2}+1)^{2}+\cdots+(a_{n}+n)^{2}-(1^{2}+2^{2}+\cdots+n^{2})\\&=S\left(A\right).\end{split}\]
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证明：对于任意给定的每项均为正整数的有穷数列 $A_{0}$，存在正整数 $K$，当 $k\geqslant K$ 时，$S\left(A_{k+1}\right)=S\left(A_{k}\right)$．标注答案略解析对于每项均是正整数的有穷数列 $A$，先证明：$S\left(T_{2}(A)\right)\leqslant S(A)$．（即排序不等式，证明略）于是 $S(A_{k+1})\leqslant S(A_{k})$，而 $S(A)\geqslant 0$，所以存在正整数 $k$，当 $k\geqslant K$ 时，$S\left(A_{k+1}\right)=S(A_{k})$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
问题3
答案3
解析3
备注3
