一张长方形白纸 $ABCD$，其中 $AD=1$，$AB=a$（$a\geqslant 1$）．设 $D_1$ 是边 $AB$ 上一点，记 $AD_1=x$．现拿起白纸的顶点 $D$，将点 $D$ 折向 $D_1$，并保证端点 $D$ 与 $D_1$ 重合．设折后得到的图形中，不在原来的长方形 $ABCD$ 范围的部分面积为 $S$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
-
用 $a$ 和 $x$ 表示 $S$；标注答案$S(x)=\begin{cases}\dfrac{x(x^2-2ax+1)^2}{4(1-x^2)},&x\in \left[0,a-\sqrt{a^2-1}\right],\\
0,&x\in \left(a-\sqrt{a^2-1},1\right),\\
\dfrac{x^2-1}{4x},&x\in [1,a].\end{cases}$解析以 $A$ 为原点，$AB$ 为 $x$ 轴正方向建立平面直角坐标系，设 $D_1(m,0)$，则折痕$$l:y=m\left(x-\dfrac m2\right)+\dfrac 12.$$情形一 折痕与 $AD,BC$ 相交，如图．
可以计算得\[P\left(\dfrac m2+\dfrac 1{2m},1\right),Q\left(a,am-\dfrac 12m^2+\dfrac 12\right),R\left(a,\dfrac{2m(a-m)}{1-m^2}\right),\]于是\[S=\dfrac 12(QR-QC)\cdot PC=\dfrac{m(m^2-2am+1)^2}{4(1-m^2)}.\]情形二 折痕与 $AD,CD$ 相交，此时 $S=0$．情形三 折痕与 $AB,CD$ 相交，如图．
可以计算得\[P\left(0,-\dfrac 12m^2+\dfrac 12\right),Q\left(\dfrac 12m-\dfrac{1}{2m},0\right),\]于是\[S=\dfrac 12(QD_1-QA)\cdot PA=\dfrac{m^2-1}{4m}.\]综上所述，有\[S(x)=\begin{cases}\dfrac{x(x^2-2ax+1)^2}{4(1-x^2)},&x\in \left[0,a-\sqrt{a^2-1}\right],\\
0,&x\in \left(a-\sqrt{a^2-1},1\right),\\
\dfrac{x^2-1}{4x},&x\in [1,a].\end{cases}\] -
当 $a=1$ 时，在 $D_1$ 点从 $A$ 移动到 $B$ 的过程中，求 $S$ 的最大值．标注答案$\dfrac{316-119\sqrt{7}}{54}$解析当 $a=1$ 时，有\[S(x)=\dfrac{x(1-x)^3}{4(x+1)},x\in [0,1].\]其导函数\[S'(x)=-\dfrac{(x-1)^2}{4(x+1)^2}\cdot (3x^2+4x-1),\]于是当 $x=\dfrac{-2+\sqrt 7}3$ 时，$S(x)$ 取得极大值，亦为最大值\[S\left(\dfrac{-2+\sqrt 7}3\right)=\dfrac{316-119\sqrt{7}}{54}.\]
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
