题目 已知函数 $f\left(n\right)\left(n\in \mathbb N^{\ast}\right)$ 满足条件：<br/>① $f\left(2\right)=2$；<br/>② $f\left(xy\right)=f\left(x\right)\cdot f\left(y\right)$；<br/>③ $f\left(n\right)\in \mathbb N^{\ast}$；<br/>④ 当 $x>y$ 时，有 $f\left(x\right)>f\left(y\right)$． 问题1 求 $f\left(1\right),f\left(3\right)$ 的值； 答案1 $f(1)=1$，$f(3)=3$ 解析1 根据题意有$$ f\left(2\right)=f\left(2\cdot 1\right)=f\left(2\right)\cdot f\left(1\right),$$又 $f\left(2\right)=2$，所以 $ f\left(1\right)=1$．<br/>因为$$ f\left(4\right)=f\left(2\cdot 2\right)=f\left(2\right)\cdot f\left(2\right)=4,$$而 $2=f\left(2\right)<f\left(3\right)<f\left(4\right)=4$，且 $f\left(3\right)\in \mathbb N^{\ast}$，所以$$f\left(3\right)=3.$$ 备注1 问题2 由 $f\left(1\right),f\left(2\right),f\left(3\right)$ 的值，猜想 $f\left(n\right)$ 的解析式； 答案2 $f(n)=n,n\in\mathbb N^{\ast}$ 解析2 由 $f\left(1\right)=1$，$f\left(2\right)=2$，$f\left(3\right)=3$，猜想 $f\left(n\right)=n\left(n\in \mathbb N^{\ast}\right)$． 备注2 问题3 证明你猜想的 $f\left(n\right)$ 的解析式的正确性． 答案3 略 解析3 用数学归纳法证明：<br/><sol>归纳基础</sol>当 $n=1$ 时，$f\left(1\right)=1$，函数解析式成立．<br/><sol>递推证明</sol>假设 $n=k$ 时，$f\left(k\right)=k$，函数解析式成立．<br/><case>情形一</case>若 $k+1=2m\left(m\in \mathbb N^{\ast}\right)$，则$$\begin{split}f\left(k+1\right)&=f\left(2m\right)\\&=f\left(2\right)\cdot f\left(m\right)\\&=2m\\&=k+1.\end{split}$$<case>情形二</case> 若 $k+1=2m+1\left(m\in \mathbb N^{\ast}\right)$，则$$\begin{split}f\left(2m+2\right)&=f\left[2\left(m+1\right)\right]\\&=f\left(2\right)\cdot f\left(m+1\right)\\&=2\left(m+1\right)\\&=2m+2,\end{split}$$而 $2m=f\left(2m\right)<f\left(2m+1\right)<f\left(2m+2\right)=2m+2$，<br/>所以$$ f\left(2m+1\right)=2m+1=k+1.$$即当 $n=k+1$ 时，函数解析式成立．<br/>综上所述，$f\left(n\right)=n\left(n\in \mathbb N^{\ast}\right)$ 成立． 备注3