已知 $S_n=\left\{A \left|\right. A=\left(a_1,a_2,a_3,\cdots,a_n\right),a_i\in\{0, 1\},i=1,2,3,\cdots,n\right\}$ $\left(n\geqslant 2\right)$，对于 $U,V \in S_n$，$d\left(U,V\right)$ 表示 $ U $ 和 $ V $ 中相对应的元素不同的个数．
【难度】
【出处】
无
【标注】
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令 $U = \left(0,0,0,0,0\right)$，存在 $ m $ 个 $V \in {S_5}$，使得 $d\left(U,V\right) = 2$，写出 $ m $ 的值；标注答案$10$解析$m={\rm C}_5^2=10$．
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令 $U,V,W \in {S_n}$，求证：$d\left(U,W\right) + d\left(V,W\right) \geqslant d\left(U,V\right)$；标注答案略解析令 $U= \left({a_1},{a_2},{a_3} ,\cdots , {a_n}\right)$，$V = \left({b_1},{b_2},{b_3} ,\cdots ,{b_n}\right)$，$W=(c_1,c_2,c_3,\cdots ,c_n)$，则若证$$d\left(U,W\right) + d\left(V,W\right) \geqslant d\left(U,V\right),$$需证$$\sum\limits_{i = 1}^{n}|{a_i} - c_i|+\sum\limits_{i = 1}^{n}|{b_i} - c_i| \geqslant \sum\limits_{i=1}^{n}|a_i-b_i|,$$即证$$\forall 1\leqslant i\leqslant n, i\in {\mathbb N}_+,|a_i-c_i|+|b_i-c_i|\geqslant |a_i-b_i|,$$根据绝对值不等式，原命题得证．
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若 $U,V \in {S_n}$，求所有 $d\left(U,V\right)$ 之和．标注答案$n\cdot 2^{2n-2}$解析$S_n$ 共有 $2^n$ 个元素，所有元素的第 $i$ 项 $(i=1,2,3,\cdots,n)$ 中有 $2^{n-1}$ 个 $0$ 和 $2^{n-1}$ 个 $1$．
于是所有 $d(U,V)$ 之和为$$n\cdot (2^{n-1}\cdot 2^{n-1})=n\cdot 2^{2n-2}.$$
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
问题3
答案3
解析3
备注3
