题目 已知函数 $f(x)=1+\dfrac 2x$，数列 $\{a_n\}$ 中，$a_1=a$，$a_{n+1}=f(a_n)(n\in {\mathbb N^+})$．当 $a$ 取不同的值时，得到不同的数列 $\{a_n\}$，如<br/>当 $a=1$ 时，得到无穷数列 $1,3,\dfrac 53 ,\dfrac{11}{5},\cdots $；<br/>当 $a=2$ 时，得到常数列 $2,2,2,\cdots$；<br/>当 $a=-2$ 时，得到有穷数列 $-2,0$． 问题1 若 $a_3=0$，求 $a$ 的值； 答案1 $-\dfrac 23$ 解析1 由$$a_{n+1}=1+\dfrac 2{a_n},$$有$$a_n=\dfrac 2{a_{n+1}-1},$$于是$$a_2=\dfrac 2{a_3-1}=2 , a_1=\dfrac2{a_2-1}=-\dfrac 23.$$因此 $a=-\dfrac 23$． 备注1 问题2 设数列 $\{b_n\}$ 满足 $b_1=-2$，$b_n=f(b_{n+1})(n\in{\mathbb N^+})$．求证：不论 $a$ 取 $\{b_n\}$ 中的任何数，都可以得到一个有穷数列 $\{a_n\}$； 答案2 略 解析2 因为$$f(x)=1+\dfrac 2x,$$所以$$f^{-1}(x)=\dfrac 2{x-1},x\ne 1.$$对于数列 $\{b_n\}$，有$$b_n=f^{-(n-1)}(b_1)=f^{(-n)}(0).$$若 $a=b_k$，则$$f^{(k)}(a)=f^{(k)}(b_n)$$（因为 $f(x)$ 是单调函数），即 $a_{k+1}=0$．<br/>于是数列 $\{a_n\}$ 为包含 $k+1$ 项的有穷数列． 备注2 问题3 若当 $n\geqslant 2$ 时，都有 $\dfrac 53 <a_n<3$，求 $a$ 的取值范围． 答案3 $1<a<3$ 解析3 因为$$a_2=f(a_1)=f(a)=1+\dfrac 2a,$$且$$\dfrac 53<a_2<3,$$所以 $1<a<3$．<br/>又因为当 $\dfrac 53<a_n<3$ 时，$$\dfrac 53<1+\dfrac 2{a_n}<\dfrac{11}{5}<3,$$即$$\dfrac 53<a_{n+1}<3,$$所以当 $1<a<3$ 时，有 $\dfrac 53<a_n<3$． 备注3 这是函数迭代的基本模型，记 $a_{n+1}=\underbrace{ff\cdots f(a_1)}_{n}=f^{(n)}(a_1)$，则通过迭代函数 $f(x)$ 得到的数列 $\{a_n\}$ 称为是函数 $f(x)$ 的迭代数列．在处理迭代数列的时候，需要对初始值仔细考察．<br/>考虑迭代函数的不动点 $f(x)=x$，解得 $x=2$ 或 $x=-1$．因此该函数存在“聚点”．在聚点附近取个邻域，去证明数列的“聚集性质”就是该题所要求我们做的．