在周长为 $6$ 的三角形 $ABO$ 中，$\angle AOB=60^\circ$，点 $P$ 在边 $AB$ 上，$PH\perp OA$ 于 $H$，且 $PH=\dfrac{\sqrt 3}2$，$OP=\dfrac{\sqrt 7}2$，求 $OA$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\dfrac{5\pm\sqrt 7}3$
【解析】
如图，以 $O$ 做坐标原点，$OA$ 为 $x$ 正方向建立平面直角坐标系．
易得 $P\left(1,\dfrac{\sqrt 3}2\right)$，$H(1,0)$．设 $A(x,0)$，$B(y,\sqrt 3y)$，则\[\begin{cases}x+2y+\sqrt{(x-y)^2+3y^2}=6,\\
\dfrac{\sqrt 3y-0}{y-x}=\dfrac{\dfrac{\sqrt 3}2-0}{1-x},\end{cases}\]解得\[(x,y)=\left(\dfrac{5\pm\sqrt{7}}3,\dfrac{7\mp\sqrt 7}7\right).\]
易得 $P\left(1,\dfrac{\sqrt 3}2\right)$，$H(1,0)$．设 $A(x,0)$，$B(y,\sqrt 3y)$，则\[\begin{cases}x+2y+\sqrt{(x-y)^2+3y^2}=6,\\\dfrac{\sqrt 3y-0}{y-x}=\dfrac{\dfrac{\sqrt 3}2-0}{1-x},\end{cases}\]解得\[(x,y)=\left(\dfrac{5\pm\sqrt{7}}3,\dfrac{7\mp\sqrt 7}7\right).\]
答案
解析
备注
