题目 已知集合 $A(n)=\left\{k\mid 1\leqslant k\leqslant \dfrac{3^n-1}{2},k\in\mathbb N^{\ast}\right\}$（$n\geqslant 2$ 且 $n\in\mathbb N^{\ast}$）．若存在非空集合 $S_1,S_2,\cdots,S_n$，使得 $A(n)=S_1\cup S_2\cup \cdots \cup S_n$，且 $S_i\cap S_j=\varnothing $（$1\leqslant i<j\leqslant n$），并对任意 $x,y\in S_i$（$i=1,2,\cdots,n$），$x>y$，都有 $x-y\notin S_i$，则称集合 $A(n)$ 具有性质 $P$，$S_i$（$i=1,2,\cdots,n$）称为集合 $A(n)$ 的 $P$ 子集． 问题1 试说明集合 $A(2)$ 具有性质 $P$，并写出相应的 $P$ 子集 $S_1,S_2$； 答案1 $S_1=\{1,4\}$，$S_2=\{2,3\}$ 解析1 取 $S_1=\{1,4\}$，$S_2=\{2,3\}$ 即可． 备注1 问题2 若集合 $A(n)$ 具有性质 $P$，集合 $T$ 是集合 $A(n)$ 的一个 $P$ 子集，设 $T'=\left\{s+3^n\mid s\in T\right\}$，求证：任意 $x,y\in T\cup T'$，$x>y$，都有 $x-y\notin T\cup T'$； 答案2 略 解析2 <case>情形一 </case> $x,y\in T$，则 $x-y\notin T'$，且\[x-y\leqslant \dfrac{3^n-1}2-1<3^n,\]于是 $x-y\notin T'$，符合题意．<br/><case>情形二</case> $x,y\in T'$，则 $x-3^n,y-3^n\in T$，于是\[x-y=\left(x-3^n\right)-\left(y-3^n\right)\notin T,\]且\[x-y=(x-3^n)-(y-3^n)\leqslant \dfrac{3^n-1}2-1<3^n,\]所以 $ x-y\notin T' $，符合题意．<br/><case>情形三</case> $ x\in T' $，$ y\in T $，则\[x-y\geqslant \left(3^n+1\right)-\dfrac{3^n-1}2>\dfrac{3^n-1}2,\]于是 $ x-y\notin T $，而 $ x-3^n\in T$，于是\[\left(x-3^n\right)-y\notin T,\]进而\[x-y=\left(x-3^n\right)-y+3^n\notin T',\]符合题意．<br/>综上所述，命题得证． 备注2 问题3 求证：对任意正整数 $n\geqslant 2$，集合 $A(n)$ 具有性质 $P$． 答案3 略 解析3 对 $n$ 进行数学归纳．<br/>由第 $(1)$ 小题结果，当 $n=2$ 时，集合 $A(n)$ 具有性质 $P$．<br/>假设当 $n=k$（$k\in\mathbb N^{\ast}$，$k\geqslant 2$）时，集合 $A(n)$ 具有性质 $P$，且此时对应的集合为\[M_1,M_2,\cdots,M_k.\]则当 $n=k+1$ 时，构造\[M_i'=\{s+3^k\mid s\in M_i\},i=1,2,\cdots,k\]且\[\begin{split}N_1&=M_1\cup M_1',\\<br/>N_2&=M_2\cup M_2',\\<br/>&\cdots,\\<br/>N_k&=M_k\cup M_k',\\<br/>N_{k+1}&=A(k+1)\backslash\bigcup_{i=1}^kN_k=\left\{\dfrac{3^k-1}2+1,\dfrac{3^k-1}2+2,\cdots,3^k\right\}\end{split}\]则根据第 $(2)$ 小题的结果，对任意 $x,y\in N_i$（$i=1,2,\cdots,k$），$x>y$，都有 $x-y\notin N_i$．而对任意 $x,y\in N_{k+1}$，$x>y$，都有\[x-y\leqslant 3^k-\left(\dfrac{3^k-1}2+1\right)=\dfrac{3^k-1}{2}<\dfrac{3^k-1}2+1,\]于是 $x-y\notin N_{k+1}$．<br/>因此当 $n=k+1$ 时集合 $A(n)$ 仍然具有性质 $P$．<br/>综上所述，原命题得证． 备注3