在数列 $\{a_{n}\}$ 中，若 $a_{1},a_{2}$ 是正整数，且 $a_{n}=\left|a_{n-1}-a_{n-2}\right|$，$n=3,4,5,\cdots$，则称 $\{a_{n}\}$ 为“绝对差数列”．
【难度】
【出处】
无
【标注】
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举出一个前五项不为零的“绝对差数列”（只要求写出前十项）；标注答案$5,4,1,3,2,1,1,0,1,1$解析略
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若“绝对差数列”$\{a_{n}\}$ 中，$a_{20}=3,a_{21}=0$，数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $b_{n}=a_{n}+a_{n+1}+a_{n+2}$，$n=1,2,3,\cdots$，分别判断当 $n\to\infty$ 时，$a_{n}$ 和 $b_{n}$ 的极限是否存在，如果存在，求出其极限值；标注答案略解析从 $a_{20}$ 开始，数列 $\{a_n\}$ 为 $\underbrace{3,0,3}_{\text{共}3\text{项}},\underbrace{3,0,3}_{\text{共}3\text{项}},\cdots$，于是当 $n\to\infty$ 时，$a_{n}$ 不存在极限；
从 $b_{21}$ 开始，数列 $\{b_n\}$ 为 $6,6,\cdots,6,\cdots$，所以当 $n\to \infty$ 时，$\{b_{n}\}$ 存在极限为 $6$． -
证明：任何“绝对差数列”中总含有无穷多个为零的项．标注答案略解析
第一步 先证明任何“绝对值数列”中总含有为零的项．
用反证法，假设“绝对差数列”中没有为零的项．
由于$$a_{n}=\left|a_{n-1}-a_{n-2}\right|,$$所以$$a_{n}<\max\{a_{n-1},a_{n-2}\},$$类似的\[a_{n+1}<\max(a_{n},a_{n-1})\leqslant \max(a_{n-1},a_{n-2}).\]于是$$\max(a_{n},a_{n+1})<\max(a_{n-1},a_{n-2}).$$记数列 $\{c_{n}\}$ 为$$\max(a_{1},a_{2}),\max(a_{3},a_{4}),\max(a_{5},a_{6}),\cdots,\max(a_{2n-1},a_{2n}),\cdots,$$则 $\{c_{n}\}$ 为单调减数列，而 $c_{n}$ 恒为正整数，矛盾．
因此任何“绝对值数列”中总含有为零的项．第二步 再证明“绝对值差数列”中总含有无穷多个为零的项．
由第一步，设“绝对值数列”中 $a_{k}=0$，设 $a_{k-1}=m$，则从第 $k-1$ 项起数列为$$\underbrace{m,0,m},\underbrace{m,0,m},\cdots$$因此“绝对差数列”中总含有无穷多个为零的项．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
问题3
答案3
解析3
备注3
