题目 对于数列 $A:{a_1},{a_2}, \cdots ,{a_n}$，若满足 ${a_i} \in \left\{ {0,1} \right\}\left( {i = 1,2,3, \cdots ,n} \right)$，则称数列 $A$ 为“$0 - 1$ 数列”．定义变换 $T$，$T$ 将“$0 - 1$ 数列”$A$ 中原有的每个 $1$ 都变成 $0$，$1$，原有的每个 $0$ 都变成 $1$，$0$．例如 $A:1,0,1$，则 $T\left(A\right):0,1,1,0,0,1$ 设 ${A_0}$ 是“$0 - 1$ 数列”，令 ${A_k} = T\left( {{A_{k - 1}}} \right), k = 1,2,3, \cdots $． 问题1 若数列 ${A_2}:1,0,0,1,0,1,1,0,1,0,0,1$．求数列 ${A_1}$，${A_0}$； 答案1 ${A_1}:0,1,1,0,0,1$；${A_0}:1,0,1$ 解析1 由变换 $T$ 的定义可得 ${A_1}:0,1,1,0,0,1$；${A_0}:1,0,1$； 备注1 问题2 若数列 ${A_0}$ 共有 $10$ 项，则数列 ${A_2}$ 中连续两项相等的数对至少有多少对？请说明理由； 答案2 $10$ 对 解析2 数列 ${A_0}$ 中连续两项相等的数对至少有 $10$ 对，理由如下：<br/>对于任意一个“$0 - 1$ 数列”${A_0}$，${A_0}$ 中每一个 $1$ 在 ${A_2}$ 中对应连续四项 $1$，$0$，$0$，$1$；在 ${A_0}$ 中每一个 $0$ 在 ${A_2}$ 中对应的连续四项为 $0$，$1$，$1$，$0$；因此，共有 $10$ 项的" $0 - 1$ 数列" ${A_0}$ 中的每一个项在 ${A_2}$ 中都会对应一个连续相等的数对，所以 ${A_2}$ 中至少有 $10$ 对连续相等的数对． 备注2 问题3 若 ${A_0}$ 为 $0,1$，记数列 ${A_k}$ 中连续两项都是 $0$ 的数对个数为 ${l_k}$，$k = 1,2,3, \cdot \cdot \cdot $．求 ${l_k}$ 关于 $k$ 的表达式． 答案3 ${l_k} =\dfrac{1}{3}\left[2^k-(-1)^k\right]$ 解析3 设 ${A_k}$ 中有 ${b_k}$ 个 $01$ 数对，${A_{k + 1}}$ 中的 $00$ 数对只能由 ${A_k}$ 中的 $01$ 数对得到，所以$${l_{k + 1}} = {b_k}.$$${A_{k + 1}}$ 中的 $01$ 数对有两个产生途径：<br/><case>途径一 </case>由 ${A_k}$ 中的 $1$ 得到；<br/><case>途径二 </case>由 ${A_k}$ 中 $00$ 得到．<br/>由变换 $T$ 的定义及 ${A_0}:0,1$ 可得 ${A_k}$ 中 $0$ 和 $1$ 的个数总相等，且共有 ${2^{k + 1}}$ 个，<br/>所以$${b_{k + 1}} = {l_k} + {2^k} , {l_{k + 2}} = {l_k} + {2^k}.$$由 ${A_0}:0,1$ 可得$$\begin{split}{A_1}&:1,0,0,1,\\<br/>{A_2}&:0,1,1,0,1,0,0,1\end{split}$$所以 ${l_1} = 1$，${l_2} = 1$，从而通项为$${l_k} =\dfrac{1}{3}\left[2^k-(-1)^k\right].$$ 备注3