题目 已知函数 $y=f(x),x\in\mathbb N^{*},y\in\mathbb N^{*}$，满足：<br/>① 对任意 $a,b\in\mathbb N^{*}$，$a\ne b$，都有 $af(a)+bf(b)>af(b)+bf(a)$；<br/>② 对任意 $n\in\mathbb N^{*}$ 都有 $f[f(n)]=3n$． 问题1 试证明：$f(x)$ 为 $\mathbb N^{*}$ 上的单调增函数； 答案1 略 解析1 因为$$af(a)+bf(b)>af(b)+bf(a),$$所以$$(a-b)\left[f(a)-f(b)\right]>0,$$于是 $f(x)$ 为 $\mathbb N^{*}$ 上的单调递增函数． 备注1 问题2 求 $f(1)+f(6)+f(28)$； 答案2 $66$ 解析2 因为 $f(n)$ 单调递增，且由 $\mathbb N^{*}$ 映射到 $\mathbb N^{*}$，所以$$f(n)\geqslant n,$$容易证明 $f(n)\ne n$ 且 $f(n)\ne 3n$，因此$$n<f(n)<3n.$$从而$$f(1)=2 , f(2)=f[f(1)]=3 , f(3)=f[f(2)]=6.$$类似可得，$$f(6)=9 , f(9)=18 , f(18)=27 , (27)=54 , f(54)=81.$$注意到 $54-27=81-54$，而函数 $f(n)$ 单调递增，所以$$f(28)=55 , f(29)=56 ,\cdots, f(53)=80.$$因此$$f(1)+f(6)+f(28)=66.$$ 备注2 问题3 令 $a_{n}=f\left(3^{n}\right),n\in\mathbb N^{*}$，试证明：$\dfrac{n}{4n+2}\leqslant \dfrac{1}{a_{1}}+\dfrac{1}{a_{2}}+\cdots+\dfrac{1}{a_{n}}<\dfrac{1}{4}$． 答案3 略 解析3 注意到$$f(3)=6 , f(9)=18 , f(27)=54,$$猜想 $a_{n}$ 是公比为 $3$ 的等比数列．<br/>证明如下：<br/>因为$$a_{n}=f(3^{n}),$$所以$$f(a_{n})=f\left[f(3^{n})\right]=3^{n+1},$$于是有\[f\left[f(a_{n})\right]=f\left(3^{n+1}\right),\]故 $a_{n+1}=3a_{n}$，因此$$a_{n}=2\cdot 3^{n},$$从而\[\dfrac{1}{a_{1}}+\dfrac{1}{a_{n}}+\cdots+\dfrac{1}{a_{n}}=\dfrac{1}{4}\left(1-\dfrac{1}{3^{n}}\right).\]因为 $3^{n}\geqslant 2n+1$，于是不等式左边成立，右边显然．<br/>综上，命题得证． 备注3