题目 定义 $\tau(a_1,a_2,\cdots ,a_n)=|a_1-a_2|+|a_2-a_3|+\cdots +|a_{n-1}-a_n|$ 为有限项数列 $\{a_n\}$ 的波动强度． 问题1 当 $a_n=(-1)^n$ 时，求 $\tau(a_1,a_2,\cdots ,a_{100})$； 答案1 $198$ 解析1 $\tau(a_1,a_2,\cdots ,a_{100})=2\times 99=198$． 备注1 问题2 若数列 $a,b,c,d$ 满足 $(a-b)(b-c)>0$，求证：$\tau(a,b,c,d)\leqslant \tau(a,c,b,d)$； 答案2 略 解析2 用分析法．<br/>要证$$\tau(a,b,c,d)\leqslant \tau(a,c,b,d),$$只需证$$|a-b|+|b-c|+|c-d|\leqslant |a-c|+|c-b|+|b-d|,$$即证$$|a-b|+|c-d|\leqslant |a-c|+|b-d|.$$<case>情形一</case> 若 $a>b>c$，则$$|c-d|-|b-d|\leqslant b-c,$$所以$$a-b+|c-d|\leqslant a-c+|b-d|,$$原命题成立．<br/><case>情形二</case> 若 $a<b<c$，则$$|c-d|-|b-d|\leqslant b-a,$$所以$$c-b+|c-d|\leqslant c-a+|b-d|,$$原命题成立．<br/>根据绝对值不等式$$|x|-|y|\leqslant |a\pm y|,$$原命题成立． 备注2 问题3 设 $\{a_n\}$ 各项均不相等，且交换数列 $\{a_n\}$ 中任何相邻两项的位置，都会使数列的波动强度增加，求证：数列 $\{a_n\}$ 一定是递增数列或递减数列． 答案3 略 解析3 假设 $\{a_n\}$ 不是递增或递减数列，则一定存在 $a_i,a_{i+1},a_{i+2}$ 使得$$(a_i-a_{i+1})(a_{i+1}-a_{i+2})\leqslant 0.$$根据 $(2)$，可以通过交换其中相邻两项的位置来调整这三项的顺序，使得$$(a_i-a_{i+1})(a_{i+1}-a_{i+2})>0.$$此时这种调整会使得数列的波动强度减少或者不变，矛盾．因此数列 $\{a_n\}$ 一定是递增数列或递减数列． 备注3