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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
26326 592e32a2eab1df00082572aa 高中 解答题 高中习题 已知集合 $P$． 2022-04-17 20:55:53
23122 590a93216cddca0008610d77 高中 解答题 高考真题 已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 的各项均为正数，$b_n=n\left(1+\dfrac 1n\right)^na_n$（$n\in\mathbb N^*$），$\rm e$ 为自然对数的底数． 2022-04-17 20:39:24
22487 59278d4874a309000997fc03 高中 解答题 高考真题 用 $[a]$ 表示不大于 $a$ 的最大整数．令集合 $P=\{1,2,3,4,5\}$，对任意 $k\in P$ 和 $m\in \mathbb N^+$，定义 $\displaystyle f(m,k)=\sum\limits_{i=1}^{5}\left[m\sqrt{\dfrac{k+1}{i+1}}\right]$，集合 $A=\{m\sqrt{k+1}\mid m\in {\mathbb N^+},k\in P\}$，并将集合 $A$ 中的元素按照从小到大的顺序排列，记为数列 $\{a_n\}$． 2022-04-17 20:40:18
22392 5a03c41ee1d4630009e6d2f1 高中 解答题 高中习题 已知函数 $f\left(n\right)\left(n\in \mathbb N^{\ast}\right)$ 满足条件：
① $f\left(2\right)=2$；
② $f\left(xy\right)=f\left(x\right)\cdot f\left(y\right)$；
③ $f\left(n\right)\in \mathbb N^{\ast}$；
④ 当 $x>y$ 时，有 $f\left(x\right)>f\left(y\right)$．		 2022-04-17 20:50:17
21575 590ac0d56cddca0008610e23 高中 解答题 高中习题 设 $b>0$，数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=b$，$a_n=\dfrac{nba_{n-1}}{a_{n-1}+2n-2}$（$n\geqslant 2$，$n\in\mathbb N^{\ast}$）． 2022-04-17 20:14:10
15893 603f4c8425bdad000ac4d877 高中 解答题 自招竞赛 设函数 $f(x)=e^x-\cos x$（$x>0$），正数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=1$，且当 $n\geqslant 2$ 时，有 $f(a_n)=a_{n-1}$．证明： 2022-04-17 19:50:17
15723 590992d038b6b400091efff4 高中 解答题 高中习题 数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=1$，$a_{n+1}=a_n+\dfrac{1}{[a_n]}$，求 $\{a_n\}$ 的通项公式． 2022-04-17 19:21:16
15673 590fbc07857b4200092b0701 高中 解答题 自招竞赛 已知 $f\left( x \right)$ 为一元二次函数，且 $a,f\left( a \right),f\left( {f\left( a \right)} \right),f\left( {f\left( {f\left( a \right)} \right)} \right)$ 为正项等比数列，求证：$f\left( a \right) = a$． 2022-04-17 19:54:15
15318 59b73411b049650008cb66fb 高中 解答题 自招竞赛 设数列 $\{a_n\}$ 定义为 $a_1=1$，$$a_{n+1}=\begin{cases}a_n+n,&a_n\leqslant n,\\a_n-n,&a_n>n,\end{cases}n=1,2,\cdots.$$求满足 $a_r<r\leqslant3^{2017}$ 的正整数 $r$ 的个数． 2022-04-17 19:35:12
14321 59609aa43cafba0009670b82 高中 填空题 高中习题 设 $a$ 为正整数，数列 $\{x_n\}$ 满足 $x_1=a$，$x_{n+1}=\left[\dfrac {x_n+\left[\frac {a}{x_n}\right ]}{2}\right ](n\in\mathbb{N}^{\ast})$，其中 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，现有下列命题：
① 当 $a=5$ 时，数列 $\{x_n\}$ 的前 $3$ 项依次为 $5,3,2$；
② 对数列 $\{x_n\}$ 都存在正整数 $k$，当 $n\geqslant k$ 时，总有 $x_n=x_k$；
③ 当 $n\geqslant 1$ 时，$x_n>\sqrt a-1$；
④ 对某个正整数 $k$，若 $x_{k+1}\geqslant x_k$，则 $x_k=\left[\sqrt{a}\right]$．
其中真命题有 ．（写出所有真命题的编号）		 2022-04-16 22:24:57
14319 590c3922857b420007d3e562 高中 填空题 高中习题 已知数列 $\{a_n\}$ 的各项均为正整数，对于 $n=1,2,3,\cdots$，有$$a_{n+1}=\begin{cases} 3a_n+5,2\nmid a_n,\\\dfrac {a_n}{2^k},2^k||a_n,\end{cases}$$其中 $k$ 为正整数，$2^k||a_n$ 表示 $2^k|a_n$ 且 $2^{k+1}\nmid a_n$．当 $a_1=11$ 时，$a_{100}=$  ；若存在 $m\in\mathbb{N}^{\ast}$，当 $n>m$ 且 $a_n$ 为奇数时，$a_n$ 恒为常数 $p$，则 $p$ 的值为 ． 2022-04-16 22:24:57
11875 59101ca2857b42000aca396d 高中 填空题 自招竞赛 已知数列 $\left\{ {{a_n}} \right\}$ 满足：$\dfrac{{{a_{n + 1}} + {a_n} - 1}}{{{a_{n + 1}} - {a_n} + 1}} = n(n \in {{\mathbb{N}}^ * })$，且 ${a_4} = 28$，则 $a_{20}= $  ． 2022-04-16 22:04:35
11669 590c39ce857b4200085f860e 高中 填空题 高中习题 设 $a$ 为正整数，数列 $\{x_n\}$ 满足 $x_1=a$，$x_{n+1}=\left[\dfrac {x_n+\left[\frac {a}{x_n}\right ]}{2}\right ](n\in\mathbb{N}^{\ast})$，其中 $[x]$ 表示不超过实数 $x$ 的最大整数，现有下列命题：
1．当 $a=5$ 时，数列 $\{x_n\}$ 的前 $3$ 项依次为 $5,3,2$；
2．对数列 $\{x_n\}$ 都存在正整数 $k$，当 $n\geqslant k$ 时，总有 $x_n=x_k$；
3．当 $n\geqslant 1$ 时，$x_n>\sqrt a-1$；
4．对某个正整数 $k$，若 $x_{k+1}\geqslant x_k$，则 $x_k=\left[\sqrt{a}\right]$．
其中真命题有 ．（写出所有真命题的编号，从小到大排序，如命题1，4正确则填 $14$．）		 2022-04-16 22:09:33
10733 591174cde020e7000a7988c8 高中 填空题 高考真题 观察下列等式：\[\begin{split}
&1-\dfrac 12=\dfrac 12,\\
&1-\dfrac 12+\dfrac 13-\dfrac 14=\dfrac 13 +\dfrac 14,\\
&1-\dfrac 12+\dfrac 13-\dfrac 14+\dfrac 15-\dfrac 16=\dfrac 14 +\dfrac 15+\dfrac 16,\\
&\cdots,\\\end{split}\]据此规律，第 $n$ 个等式可为 ．		 2022-04-16 22:04:21
9588 599c21bf2a2e940009d12bb1 高中 填空题 高中习题 已知 ${f_1}\left(x\right) = {{\mathrm{e}}^x}\sin x$，${f_n}\left(x\right) = f'_{n - 1}\left(x\right)$，$n \geqslant 2$，则 $\displaystyle \sum\limits_{i = 1}^{2008} {{f_i}} \left(0\right) = $  ． 2022-04-16 22:29:10
9568 590aa0dd6cddca00092f6f2c 高中 填空题 高考真题 观察分析下表中的数据：\[\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline
\text{多面体}& \text{面数}\left(F\right) & \text{顶点数}\left(V\right)& \text{棱数}\left(E\right)\\ \hline
\text{三棱柱}& 5 & 6 & 9 \\ \hline
\text{五棱锥}& 6 & 6 & 10 \\ \hline
\text{立方体}& 6 & 8 & 12 \\ \hline
\end{array}\]猜想一般凸多面体中，$F,V,E$ 所满足的等式是 ．		 2022-04-16 22:17:10
9567 590aa2fb6cddca000a081923 高中 填空题 高考真题 已知 $f\left(x\right) = \dfrac{x}{1 + x},x \geqslant 0$，若 ${f_1}\left(x\right) = f\left(x\right)$，${f_{n + 1}}\left(x\right) = f\left({f_n}\left(x\right)\right)$，$n \in{{\mathbb{N}}_ +}$，则 ${f_{2014}}\left(x\right)$ 的表达式为 ． 2022-04-16 22:17:10
9530 59128084e020e7000878f8a5 高中 填空题 自招竞赛 数列 $\left\{ {{a_n}} \right\}$ 中，${a_0} = 0$，${a_1} = - \dfrac{1}{2}$，${a_2} = 6$，${a_3} = - \dfrac{3}{4}$，${a_4} = 20$，${a_5} = - \dfrac{5}{6}$，${a_6} = 42$，${a_7} = - \dfrac{7}{8}$，${a_8} = 72$，此数列的通项公式为 ${a_n} =$  ． 2022-04-16 22:55:09
9502 5955c294d3b4f900095c6579 高中 填空题 高中习题 数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_{n+1}+(-1)^na_n=2n-1$，若 $\{a_n\}$ 的前 $30$ 项和 $S_{30}=663$，则 $a_1=$  ． 2022-04-16 22:40:09
8868 591503e51edfe2000ade98dc 高中 填空题 高中习题 将杨辉三角中的奇数换成 $1$，偶数换成 $0$，得到如下图所示的 $0-1$ 三角数表．从上往下数，第 $1$ 次全行的数都为 $1$ 的是第 $1$ 行，第 $2$ 次全行的数都为 $1$ 的是第 $3$ 行，$\cdots$，第 $m$ 次全行的数都为 $1$ 的是第 行；第 $61$ 行中 $1$ 的个数是 ．$$\begin{array}{cccccccccccc}
第 1 行\quad&&&&& 1 && 1 &&&&\\
第 2 行\quad &&&& 1 && 0 && 1 \\
第 3 行\quad &&& 1 && 1 && 1 && 1 \\
第 4 行\quad && 1 && 0 && 0 && 0 && 1 \\
第 5行\quad & 1 && 1 && 0 && 0 && 1 && 1 \\
\vdots
\end{array}$$		 2022-04-16 22:49:03
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