已知 ${f_1}\left(x\right) = {{\mathrm{e}}^x}\sin x$，${f_n}\left(x\right) = f'_{n - 1}\left(x\right)$，$n \geqslant 2$，则 $\displaystyle \sum\limits_{i = 1}^{2008} {{f_i}} \left(0\right) = $ ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$1 - {4^{502}}$
【解析】
根据题意，有\[\begin{split}f_1(x)&={\rm e}^x\sin x,\\
f_2(x)&={\rm e}^x\left(\sin x+\cos x\right),\\
f_3(x)&={\rm e}^x\cdot 2\cos x,\\
f_4(x)&={\rm e}^x\cdot \left(2\cos x-2\sin x\right),\\
f_5(x)&={\rm e}^x\cdot \left(-4\sin x\right),\end{split}\]于是可得\[f_{n+4}(x)=-4f_n(x),n\in\mathbb N^*.\]而\[f_1(0)=0,f_2(0)=1,f_3(0)=2,f_4(0)=2,\]于是\[\sum\limits_{i = 1}^{2008} {{f_i}} \left(0\right)=(0+1+2+2)\cdot \dfrac{1-(-4)^{502}}{1-(-4)}=1-4^{502}.\]
f_2(x)&={\rm e}^x\left(\sin x+\cos x\right),\\
f_3(x)&={\rm e}^x\cdot 2\cos x,\\
f_4(x)&={\rm e}^x\cdot \left(2\cos x-2\sin x\right),\\
f_5(x)&={\rm e}^x\cdot \left(-4\sin x\right),\end{split}\]于是可得\[f_{n+4}(x)=-4f_n(x),n\in\mathbb N^*.\]而\[f_1(0)=0,f_2(0)=1,f_3(0)=2,f_4(0)=2,\]于是\[\sum\limits_{i = 1}^{2008} {{f_i}} \left(0\right)=(0+1+2+2)\cdot \dfrac{1-(-4)^{502}}{1-(-4)}=1-4^{502}.\]
题目
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解析
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