题目 已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 的各项均为正数，$b_n=n\left(1+\dfrac 1n\right)^na_n$（$n\in\mathbb N^*$），$\rm e$ 为自然对数的底数． 问题1 求函数 $f(x)=1+x-{\rm e}^x$ 的单调区间，并比较 $\left(1+\dfrac 1n\right)^n$ 与 $\rm e$ 的大小； 答案1 $\left(1+\dfrac 1n\right)^n<{\rm e}$ 解析1 根据已知$$f'(x)=1-{\rm e}^x,$$于是函数 $f(x)$ 的单调递增区间是 $(-\infty,0)$，单调递减区间是 $(0,+\infty)$．<br/>因此由 $f(0)>f\left(\dfrac 1n\right)$ 得$$0>1+\dfrac 1n-{\rm e}^{\frac 1n},$$整理得$$\left(1+\frac 1n\right)^n<{\rm e}.$$ 备注1 问题2 计算 $\dfrac {b_1}{a_1}$，$\dfrac{b_1b_2}{a_1a_2}$，$\dfrac{b_1b_2b_3}{a_1a_2a_3}$，并由此推测计算 $\dfrac{b_1b_2\cdots b_n}{a_1a_2\cdots a_n}$ 的公式，并给出证明； 答案2 $\dfrac{b_1b_2\cdots b_n}{a_1a_2\cdots a_n}=(n+1)^n$ 解析2 根据已知$$\dfrac{b_n}{a_n}=\dfrac{(n+1)^n}{n^{n-1}},$$于是$$\dfrac{b_1}{a_1}=\dfrac{2^1}{1^0},\dfrac{b_2}{a_2}=\dfrac{3^2}{2^1},\dfrac{b_3}{a_3}=\dfrac{4^3}{3^2},$$因此$$\dfrac{b_1}{a_1}=2,\dfrac{b_1b_2}{a_1a_2}=9,\dfrac{b_1b_2b_3}{a_1a_2a_3}=64.$$进而$$\frac{b_1b_2\cdots b_n}{a_1a_2\cdots a_n}=\dfrac{2^1}{1^0}\cdot\dfrac{3^2}{2^1}\cdot\frac{4^3}{3^2}\cdots\frac{(n+1)^n}{n^{n-1}}=(n+1)^n.$$ 备注2 问题3 令 $c_n=\left(a_1a_2\cdots a_n\right)^{\frac 1n}$，数列 $\{a_n\}$，$\{c_n\}$ 的前 $n$ 项和分别记为 $S_n$，$T_n$，证明：$T_n<{\rm e}S_n$． 答案3 略 解析3 根据已知\[\begin{split}c_n&=\left(a_1a_2\cdots a_n\right)^{\frac 1n}=\left(\frac{b_1b_2\cdots b_n}{(n+1)^n}\right)^{\frac 1n}\\&=\frac{\left(b_1b_2\cdots b_n\right)^{\frac 1n}}{n+1}\leqslant \dfrac{b_1+b_2+\cdots +b_n}{n(n+1)}\\&=b_1\cdot\left(\frac 1n-\frac 1{n+1}\right)+b_2\cdot\left(\frac 1n-\frac 1{n+1}\right)+\cdots+b_n\cdot\left(\frac 1n-\frac 1{n+1}\right),\end{split}\]于是\[\begin{split} T_n&\leqslant b_1\cdot\left[\left(\frac 11-\frac 12\right)+\left(\frac 12-\frac 13\right)+\cdots+\left(\frac 1n-\frac 1{n+1}\right)\right]+b_2\cdot\left[\left(\frac 12-\frac 13\right)+\cdots+\left(\frac 1n-\frac 1{n+1}\right)\right]+\cdots+b_n\cdot\left(\frac 1n-\frac 1{n+1}\right)\\&<b_1+\frac{b_2}{2}+\cdots+\frac{b_n}{n}\\&=\left(1+\frac 11\right)^1a_1+\left(1+\frac 12\right)^2a_2\cdots+\left(1+\frac 1n\right)^na_n\\&<{\rm e}\left(a_1+a_2+\cdots+a_n\right)\\&={\rm e}S_n,\end{split}\]因此命题得证． 备注3 每日一题[163]均值不等式与裂项求和．