已知 $f\left(x\right) = \dfrac{x}{1 + x},x \geqslant 0$，若 ${f_1}\left(x\right) = f\left(x\right)$，${f_{n + 1}}\left(x\right) = f\left({f_n}\left(x\right)\right)$，$n \in{{\mathbb{N}}_ +}$，则 ${f_{2014}}\left(x\right)$ 的表达式为 ．
【难度】
【出处】
2014年高考陕西卷（文）
【标注】
【答案】
$\dfrac{x}{1+2014x}$
【解析】
根据题意，可得\[\begin{split} &f_1(x)=\dfrac{x}{1+x},\\
&f_2(x)=\dfrac{\dfrac{x}{1+x}}{1+\dfrac{x}{1+x}}=\dfrac{x}{1+2x},\\
&f_3(x)=\dfrac{\dfrac{x}{1+2x}}{1+\dfrac{x}{1+2x}}=\dfrac{x}{1+3x},\\
&\cdots
\end{split}\]归纳得 $f_n(x)=\dfrac{x}{1+nx}$（$n\in{\mathbb N^*}$），用数学归纳法证明如下．
当 $n=1$ 时，命题显然成立；
假设当 $n=k$（$k\in{\mathbb N^*})$ 时，命题成立，即 $f_k(x)=\dfrac{x}{1+kx}$，则当 $n=k+1$ 时，$$f_{k+1}(x)=f(f_k(x))=\dfrac{\dfrac{x}{1+kx}}{1+\dfrac{x}{1+kx}}=\dfrac{x}{1+(k+1)x},$$因此命题对 $n=k+1$ 依然成立．
综上，命题得证，因此 $f_n(x)=\dfrac{x}{1+nx}$（$n\in{\mathbb N^*}$）．
&f_2(x)=\dfrac{\dfrac{x}{1+x}}{1+\dfrac{x}{1+x}}=\dfrac{x}{1+2x},\\
&f_3(x)=\dfrac{\dfrac{x}{1+2x}}{1+\dfrac{x}{1+2x}}=\dfrac{x}{1+3x},\\
&\cdots
\end{split}\]归纳得 $f_n(x)=\dfrac{x}{1+nx}$（$n\in{\mathbb N^*}$），用数学归纳法证明如下．
当 $n=1$ 时，命题显然成立；
假设当 $n=k$（$k\in{\mathbb N^*})$ 时，命题成立，即 $f_k(x)=\dfrac{x}{1+kx}$，则当 $n=k+1$ 时，$$f_{k+1}(x)=f(f_k(x))=\dfrac{\dfrac{x}{1+kx}}{1+\dfrac{x}{1+kx}}=\dfrac{x}{1+(k+1)x},$$因此命题对 $n=k+1$ 依然成立．
综上，命题得证，因此 $f_n(x)=\dfrac{x}{1+nx}$（$n\in{\mathbb N^*}$）．
题目
答案
解析
备注
