数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=1$，$a_{n+1}=a_n+\dfrac{1}{[a_n]}$，求 $\{a_n\}$ 的通项公式．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$$a_n=\begin{cases} k,&n=n_0=\dfrac 12\left(k^2-k+2\right),\\k+\dfrac{n-n_0}k=\dfrac{n}{k}+\dfrac{k}{2}+\dfrac 12-\dfrac 1k,&n\in \left(\dfrac 12\left(k^2-k+2\right),\dfrac 12\left(k^2+k+2\right)\right),\end{cases}$$其中 $k\in\mathbb N^*$，$n=1,2,3,\cdots $
【解析】
易知$$a_n:1,2,2\dfrac 12,3,3\dfrac 13,3\dfrac 23,4,4\dfrac 14,4\dfrac 24,4\dfrac 34,5,\cdots ,$$于是$$a_n=\begin{cases} k,&n=n_0=\dfrac 12\left(k^2-k+2\right),\\k+\dfrac{n-n_0}k=\dfrac{n}{k}+\dfrac{k}{2}+\dfrac 12-\dfrac 1k,&n\in \left(\dfrac 12\left(k^2-k+2\right),\dfrac 12\left(k^2+k+2\right)\right),\end{cases}$$其中 $k\in\mathbb N^*$，$n=1,2,3,\cdots $．
答案
解析
备注
