数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_{n+1}+(-1)^na_n=2n-1$，若 $\{a_n\}$ 的前 $30$ 项和 $S_{30}=663$，则 $a_1=$ ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$100$
【解析】
这是一个递推数列，我们可以尝试计算一些项来发现规律．
根据题意 $a_{n+1}=2n-1-(-1)^na_n$，即$$a_n=\begin{cases} 2n-3-a_{n-1},&2\nmid n,\\2n-3+a_{n-1},&2|n,\end{cases}(n\geqslant 2,n\in\mathbb{N}^*)$$设首项 $a_1=a$，则
$a_2=1+a$，$a_3=3-a_2=2-a$，$a_4=5+a_3=7-a$，$a_5=7-a_4=a$，$a_6=9+a$，$a_7=2-a$，$a_8=15-a$，$a_9=a$，$\cdots$．
可以归纳出以下规律（以下所有 $k\in\mathbb{N}^*$）$$a_{4k-3}=a,a_{4k-1}=2-a,$$于是前 $30$ 项中所有奇数项的和为$$a_1+a_3+\cdots+a_{29}=a_1+7\times 2=a+14.$$接下来计算前 $30$ 项中所有偶数项的和，从通项入手：\[\begin{split} a_{4k-2}&=2(4k-2)-3+a_{4k-3}=8k-7+a,\\a_{4k}&=2\cdot 4k-3+a_{4k-1}=8k-1-a,\end{split}\]于是$$a_{4k-2}+a_{4k}=16k-8=8(2k-1),$$从而有\[\begin{split} &a_2+a_4+a_6+\cdots+a_{30}\\=&8\times 1+8\times 3+\cdots+8\times 13+(64-7+a)\\=&449+a.\end{split}\]因此$$S_{30}=a+14+449+a=463+2a=663,$$解得 $a=100$．
根据题意 $a_{n+1}=2n-1-(-1)^na_n$，即$$a_n=\begin{cases} 2n-3-a_{n-1},&2\nmid n,\\2n-3+a_{n-1},&2|n,\end{cases}(n\geqslant 2,n\in\mathbb{N}^*)$$设首项 $a_1=a$，则
$a_2=1+a$，$a_3=3-a_2=2-a$，$a_4=5+a_3=7-a$，$a_5=7-a_4=a$，$a_6=9+a$，$a_7=2-a$，$a_8=15-a$，$a_9=a$，$\cdots$．
可以归纳出以下规律（以下所有 $k\in\mathbb{N}^*$）$$a_{4k-3}=a,a_{4k-1}=2-a,$$于是前 $30$ 项中所有奇数项的和为$$a_1+a_3+\cdots+a_{29}=a_1+7\times 2=a+14.$$接下来计算前 $30$ 项中所有偶数项的和，从通项入手：\[\begin{split} a_{4k-2}&=2(4k-2)-3+a_{4k-3}=8k-7+a,\\a_{4k}&=2\cdot 4k-3+a_{4k-1}=8k-1-a,\end{split}\]于是$$a_{4k-2}+a_{4k}=16k-8=8(2k-1),$$从而有\[\begin{split} &a_2+a_4+a_6+\cdots+a_{30}\\=&8\times 1+8\times 3+\cdots+8\times 13+(64-7+a)\\=&449+a.\end{split}\]因此$$S_{30}=a+14+449+a=463+2a=663,$$解得 $a=100$．
题目
答案
解析
备注
