已知数列 $\left\{ {{a_n}} \right\}$ 满足：$\dfrac{{{a_{n + 1}} + {a_n} - 1}}{{{a_{n + 1}} - {a_n} + 1}} = n(n \in {{\mathbb{N}}^ * })$，且 ${a_4} = 28$，则 $a_{20}= $ ．
【难度】
【出处】
2011年南京理工大学自主招生暨保送生考试数学试题
【标注】
【答案】
$780$
【解析】
因为 ${a_{n + 1}} + {a_n} - 1 = n{a_{n + 1}} - n{a_n} + n$，所以$$ {a_{n + 1}} = \dfrac{{n + 1}}{{n - 1}}\left( {{a_n} - 1} \right),n\geqslant 2.$$对数列 $1 , 6 , 15 ,28 ,45 ,66 ,\cdots $ 进行归纳，有 $n \geqslant 2$ 时，$${a_n} = n \cdot \left( {2n - 1} \right).$$验证 只需要 $\left( {n + 1} \right) \cdot \left( {2n + 1} \right) = \dfrac{{n + 1}}{{n - 1}}\left[ {n\left( {2n - 1} \right) - 1} \right]$ 即可．
题目
答案
解析
备注
