已知数列 $\{a_n\}$ 的各项均为正整数，对于 $n=1,2,3,\cdots$，有$$a_{n+1}=\begin{cases} 3a_n+5,2\nmid a_n,\\\dfrac {a_n}{2^k},2^k||a_n,\end{cases}$$其中 $k$ 为正整数，$2^k||a_n$ 表示 $2^k|a_n$ 且 $2^{k+1}\nmid a_n$．当 $a_1=11$ 时，$a_{100}=$ ；若存在 $m\in\mathbb{N}^{\ast}$，当 $n>m$ 且 $a_n$ 为奇数时，$a_n$ 恒为常数 $p$，则 $p$ 的值为 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$62$；$1$ 或 $5$
【解析】
由数列的递推公式知，若 $a_n$ 为奇数，$a_{n+1}$ 一定是偶数；而当 $a_n$ 为偶数，$a_{n+1}$ 一定为奇数，即数列 $\{a_n\}$ 是奇数与偶数交替的数列．
第一空 我们尝试往下写几项：$$11,38,19,62,31,98,49,152,19,62,\cdots.$$所以有 $a_9=a_3,a_{10}=a_4$，从而从第三项起数列 $\{a_n\}$ 是周期为 $6$ 的数列，从而有$$a_{100}=a_{6\times 16+4}=a_4=62.$$第二空 由题意知，$a_n=p$ 时，$a_{n+1}=3p+5$ 为偶数，从而有$$a_{n+2}=\dfrac {3p+5}{2^k}=p.$$即$$p(2^k-3)=5,k\in\mathbb{N}^{\ast},$$而 $p>0$，故 $p=1$ 或 $p=5$，分别对应 $k=3$ 与 $k=2$，故 $p=1,5$ 都满足条件，数列从某项起的各项值分别为 $1,8,1,8,\cdots$ 或 $5,20,5,20,\cdots$．
题目
答案
解析
备注
