下面我们来证明第 $m$ 次全行的数都为 $1$ 的是第 $2^m-1$ 行．
首先，当 $r\in\{1,2,\cdots,n\}$ 时，\[
\mathrm{C}_{n}^{r}=\mathrm{C}_{n}^{r-1}\cdot\dfrac{n-r+1}{r}.\]接下来我们证明当 $n=2^m-1 \left(m\in\mathbb{N}^{*}\right)$ 时，第 $n$ 行的所有数\[
\mathrm{C}_{n}^{r} \left(r=0,1,\cdots,n\right)\]全是奇数．对 $r$ 用数学归纳法．
归纳基础 $\mathrm{C}_{n}^{0}$ 为奇数．
递推证明假设当 $1\leqslant r\leqslant n$ 时，$\mathrm{C}_{n}^{r-1}$ 为奇数，令 $r=2^p\cdot k$，其中 $k$ 为奇数，
整数 $p$ 满足 $0 \leqslant p\leqslant m-1$．由于\[
\dfrac{n-r+1}{r}=\dfrac{2^m-2^p\cdot k}{2^p\cdot k}=\dfrac{2^{m-p}-k}{k},\]这个数的分子与分母都是奇数，故\[
\mathrm{C}_{n}^{r}=\mathrm{C}_{n}^{r-1}\cdot\dfrac{n-r+1}{r}.\]也是奇数．
综上所述，当 $n=2^m-1 \left(m\in\mathbb{N}^{*}\right)$ 时，第 $n$ 行的所有数\[\mathrm{C}_{n}^{r} \left(r=0,1,\cdots,n\right)\]全是奇数．
最后我们证明，若 $n\ne 2^m-1 \left(m\in\mathbb{N}^{*}\right)$，则第 $n$ 行的数中必然会出现偶数．
此时可设 $n+1=2^t\cdot k$，$k$ 为大于等于 $3$ 的奇数，$t$ 为非负整数．取 $r=2^t$，考虑到\[
\mathrm{C}_{n}^{r}=\mathrm{C}_{n}^{r-1}\cdot\dfrac{n-r+1}{r}=(k-1)\mathrm{C}_{n}^{r-1},\]且 $k-1$ 为大于等于 $2$ 的偶数，故此时 $\mathrm{C}_{n}^{r}$ 即为偶数．
证毕．