设 $a$ 为正整数，数列 $\{x_n\}$ 满足 $x_1=a$，$x_{n+1}=\left[\dfrac {x_n+\left[\frac {a}{x_n}\right ]}{2}\right ](n\in\mathbb{N}^{\ast})$，其中 $[x]$ 表示不超过实数 $x$ 的最大整数，现有下列命题：
1．当 $a=5$ 时，数列 $\{x_n\}$ 的前 $3$ 项依次为 $5,3,2$；
2．对数列 $\{x_n\}$ 都存在正整数 $k$，当 $n\geqslant k$ 时，总有 $x_n=x_k$；
3．当 $n\geqslant 1$ 时，$x_n>\sqrt a-1$；
4．对某个正整数 $k$，若 $x_{k+1}\geqslant x_k$，则 $x_k=\left[\sqrt{a}\right]$．
其中真命题有 ．（写出所有真命题的编号，从小到大排序，如命题1，4正确则填 $14$．）
1．当 $a=5$ 时，数列 $\{x_n\}$ 的前 $3$ 项依次为 $5,3,2$；
2．对数列 $\{x_n\}$ 都存在正整数 $k$，当 $n\geqslant k$ 时，总有 $x_n=x_k$；
3．当 $n\geqslant 1$ 时，$x_n>\sqrt a-1$；
4．对某个正整数 $k$，若 $x_{k+1}\geqslant x_k$，则 $x_k=\left[\sqrt{a}\right]$．
其中真命题有
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$234$
【解析】
这是一个递推的数列．命题 1 是为了让我们熟悉定义，容易计算知 1 正确；
光有 $a=5$ 还不够，我们对 $\{x_n\}$ 仍然很陌生，再取几个 $a$ 的值计算试试：
$a=1$ 时，$\{x_n\}$ 为 $1,1,1,\cdots$；
$a=2$ 时，$\{x_n\}$ 为 $2,1,1,1,\cdots$；
$a=3$ 时，$\{x_n\}$ 为 $3,2,1,2,1,2,\cdots$；
$a=4$ 时，$\{x_n\}$ 为 $4,2,2,2,\cdots$；
我们再取 $a$ 为比较大的值试试：
$a=9$ 时，$\{x_n\}$ 为 $9,5,3,3,3,\cdots$；
$a=10$ 时，$\{x_n\}$ 为 $10,5,3,3,3,\cdots$；
这说明 2 错误，下面分析 3，4：
观察命题 3，4，都包含 $[\sqrt{a}]$，结合上面的各个数列的情况，我们猜测：数列 $\{x_n\}$ 除了一些特殊的情况外，都是递减到某项，然后为常数列 $[\sqrt a],[\sqrt a],\cdots$ 的．根据此猜测 3，4 应该正确，尝试证明：
对于3，当 $n=1$ 时，显然有$$x_1=a\geqslant \sqrt a>\sqrt a-1;$$而$$x_{n+1}=\left[\dfrac {x_n+\left[\frac {a}{x_n}\right ]}{2}\right ]\geqslant \dfrac {x_n+\left[\frac{a}{x_n}\right ]-1}{2}>\dfrac {x_n+\frac {a}{x_n}-2}{2}\geqslant\sqrt a-1,$$所以当 $n\geqslant 2$ 时，$x_n>\sqrt a-1$．
对于4，$x_{k+1}\geqslant x_k$ 即$$\left[\dfrac {x_k+\left[\frac {a}{x_k}\right ]}{2}\right ]-x_k\geqslant 0\Rightarrow\dfrac{x_k+\left[\frac{a}{x_k}\right]}{2}-x_k\geqslant 0\Rightarrow\left[\dfrac {a}{x_k}\right ]\geqslant x_k\Rightarrow\dfrac{a}{x_k}\geqslant x_k\Rightarrow x_k\leqslant \sqrt{a}.$$又由 3 $x_n>\sqrt a-1$，所以 $x_k=[\sqrt{a}]$．
所以正确答案是234．
光有 $a=5$ 还不够，我们对 $\{x_n\}$ 仍然很陌生，再取几个 $a$ 的值计算试试：
$a=1$ 时，$\{x_n\}$ 为 $1,1,1,\cdots$；
$a=2$ 时，$\{x_n\}$ 为 $2,1,1,1,\cdots$；
$a=3$ 时，$\{x_n\}$ 为 $3,2,1,2,1,2,\cdots$；
$a=4$ 时，$\{x_n\}$ 为 $4,2,2,2,\cdots$；
我们再取 $a$ 为比较大的值试试：
$a=9$ 时，$\{x_n\}$ 为 $9,5,3,3,3,\cdots$；
$a=10$ 时，$\{x_n\}$ 为 $10,5,3,3,3,\cdots$；
这说明 2 错误，下面分析 3，4：
观察命题 3，4，都包含 $[\sqrt{a}]$，结合上面的各个数列的情况，我们猜测：数列 $\{x_n\}$ 除了一些特殊的情况外，都是递减到某项，然后为常数列 $[\sqrt a],[\sqrt a],\cdots$ 的．根据此猜测 3，4 应该正确，尝试证明：
对于3，当 $n=1$ 时，显然有$$x_1=a\geqslant \sqrt a>\sqrt a-1;$$而$$x_{n+1}=\left[\dfrac {x_n+\left[\frac {a}{x_n}\right ]}{2}\right ]\geqslant \dfrac {x_n+\left[\frac{a}{x_n}\right ]-1}{2}>\dfrac {x_n+\frac {a}{x_n}-2}{2}\geqslant\sqrt a-1,$$所以当 $n\geqslant 2$ 时，$x_n>\sqrt a-1$．
对于4，$x_{k+1}\geqslant x_k$ 即$$\left[\dfrac {x_k+\left[\frac {a}{x_k}\right ]}{2}\right ]-x_k\geqslant 0\Rightarrow\dfrac{x_k+\left[\frac{a}{x_k}\right]}{2}-x_k\geqslant 0\Rightarrow\left[\dfrac {a}{x_k}\right ]\geqslant x_k\Rightarrow\dfrac{a}{x_k}\geqslant x_k\Rightarrow x_k\leqslant \sqrt{a}.$$又由 3 $x_n>\sqrt a-1$，所以 $x_k=[\sqrt{a}]$．
所以正确答案是234．
题目
答案
解析
备注
