题目 已知集合 $P$． 问题1 若 $P=\{a\mid a=x^2-y^2,x,y\in\mathbb Z\}$，将集合 $P$ 中的数从小到大排列，写出第 $2012$ 个数； 答案1 $2683$ 解析1 先列出完全平方数：$$0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,$$于是$$1,3,4,5,7,8,9,11,12,13,15,16,17,19,20,21,23,$$可以发现缺少的数为$$2,6,10,14,18,22,$$猜想除形如 $4k-2,k\in\mathbb N^*$ 的正整数之外，所有的正整数都在 $P$ 中．<br/>这需要证明：<br/>① 所有形如 $4k-2,k\in\mathbb N^*$ 的正整数都不在 $P$ 中；<br/>② 所有形如 $4k-1,4k-3,4k,k\in\mathbb B^*$ 的正整数都在 $P$ 中．<br/>由于任何完全平方数模 $4$ 的余数为 $0$ 或 $1$，于是 ① 显然成立．<br/>对于 $4k-3$ 和 $4k-1$ 型的数，也就是奇数 $2k-1=k^2-(k-1)^2$；<br/>对于 $4k$ 型的数 $4k=(k+1)^2-(k-1)^2$，所以 ② 成立，故命题得证．<br/>很显然，$a_{3k}=4k$，于是$$a_{2010}=a_{3\cdot670}=4\cdot 670=2680,$$所以$$a_{2011}=2681,a_{2012}=2683.$$ 备注1 问题2 已知 $P$ 是满足性质“可以写成若干（不少于两个）连续自然数的和”的自然数组成的集合，将集合 $P$ 中的数从小到大排列，写出第 $2012$ 个数． 答案2 $2022$ 解析2 先列出$$1,3,5,6,7,9,10,11,12,13,14,15,17,18,19,20,$$可以发现缺少的数为$$2,4,8,16,$$猜想除形如 $2^k,k\in\mathbb N^*$ 的正整数之外，所有的正整数都在 $P$ 中．<br/>设连续的自然数首尾的数分别为 $x,y$，则这些自然数的和为$$\dfrac{(y+x)(y-x+1)}{2}.$$先证明形如 $2^k$ 的正整数不在 $P$ 中：<br/>若 $2^k=\dfrac{(y+x)(y-x+1)}{2}$，则$$2^{k+1}=(x+y)(y-x+1),$$而在 $\dfrac{(y+x)(y-x+1)}{2}$ 中，$x+y$ 和 $y-x+1$ 有不同的奇偶性，故 $2^{k+1}$ 中必然有奇因子，因此 $x=y$，且 $x=y=2^{k+1}$，解得 $x+y=2^k$，矛盾．因此形如 $2^k$ 的正整数不在 $P$ 中．<br/>再证明 $2^k+m$（其中 $0<m<2^k$，$m$ 为正整数）在 $P$ 内：<br/>令 $2^k+m=\dfrac{(y+x)(y-x+1)}{2}$，则$$2^{k+1}+2m=(x+y)(y-x+1).$$设 $m=2^tm_1$，其中 $m_1$ 为奇数，则有$$2^t\cdot (2^{k+1-t}-m_1)=(x+y)(y-x+1),$$此时容易看出 $x$，$y$ 有正整数解，且 $x\ne y$，所以命题成立．<br/>综上，除形如 $2^k,k\in\mathbb N^*$ 的正整数之外，所有的正整数都在 $P$ 中．<br/>因此，由 $2^{10}<2012<2^{11}$ 知，第 $2012$ 个数为 $2022$． 备注2