• 方法

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  论述方式

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  数学归纳法

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  第一数学归纳法
• 方法

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  思考方式

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  归纳
• 题型

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  数列

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  求数列的通项公式

$a_n=\begin{cases} 2,&b=2,\\ \dfrac{(2-b)\cdot b^n\cdot n}{2^n-b^n},&b\in (0,2)\cup(2,+\infty),\end{cases}$

情形一当 $b=2$ 时，有\[\dfrac{n}{a_n}=\dfrac{n-1}{a_{n-1}}+\dfrac 12,\]则数列 $\left\{\dfrac{n}{a_n}\right\}$ 是以 $\dfrac{1}{a_1}=\dfrac 12$ 为首项，$\dfrac 12$ 为公差的等差数列，于是\[\dfrac{n}{a_n}=\dfrac n2,\]从而 $a_n=2$．
情形二当 $b\neq 2$ 时，\begin{eqnarray*}\begin{split} a_1&=b,\\ a_2&=\dfrac{2b^2}{b+2}=\dfrac{2b^2(b-2)}{b^2-2^2},\\ a_3&=\dfrac{3b^3}{b^2+2b+4}=\dfrac{3b^3(b-2)}{b^3-2^3},\end{split} \end{eqnarray*}猜想 $a_n=\dfrac{nb^n(b-2)}{b^n-2^n}$，下面用数学归纳法证明．
当 $n=1$ 时，猜想显然成立；
假设当 $n=k$ 时，$a_k=\dfrac{kb^k(b-2)}{b^k-2^k}$，则$$a_{k+1}=\dfrac{(k+1)b\cdot a_k}{a_k+2k}=\dfrac{(k+1)b\cdot kb^k(b-2)}{kb^k(b-2)+2k\cdot\left(b^k-2^k\right)}=\dfrac{(k+1)b^{k+1}(b-2)}{b^{k+1}-2^{k+1}},$$所以当 $n=k+1$ 时猜想亦成立．
综上，猜想得证，因此 $a_n=\dfrac{nb^n(b-2)}{b^n-2^n}$，$n\in\mathbb N^{\ast}$．
综上所述，数列 $\{a_n\}$ 的通项公式为\[a_n=\begin{cases} 2,\\ &b=2,\\
\dfrac{nb^n(2-b)}{2^n-b^n}, &b\in (0,2)\cup(2,+\infty).\end{cases}\]

• 题型

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  不等式

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  数列不等式的证明
• 方法

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  思考方式

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  递推与递归

略

情形一当 $b=2$ 时，$a_n=2$，于是$$a_n=\dfrac{b^{n+1}}{2^{n+1}}+1=2,$$从而原不等式成立．
情形二当 $b\neq 2$ 时，欲证明不等式即$$\dfrac{nb^n(2-b)}{2^n-b^n}\leqslant \dfrac{b^{n+1}}{2^{n+1}}+1,$$整理知也即证$$\dfrac{\dfrac{b^{n+1}}{2^n}-\dfrac{2^{n+1}}{b^n}}{b-2}\geqslant 2n+1.$$设不等式左侧为 $b_n$，注意到$$\left(\dfrac{b^{n+1}}{2^n}-\dfrac{2^{n+1}}{b^n}\right)\left(\dfrac b2 +\dfrac 2b\right)=\dfrac{b^{n+2}}{2^{n+1}}-\dfrac{2^{n+2}}{b^{n+1}}+\dfrac{b^n}{2^{n-1}}-\dfrac{2^n}{b^{n-1}},$$于是$$b_{n+1}+b_{n-1}=\left(\dfrac b2+\dfrac 2b\right)\cdot b_n\geqslant 2b_n,$$所以$$b_{n+1}-b_n\geqslant b_n-b_{n-1}.$$考虑到$$b_2-b_1=\dfrac{\dfrac {b^3}{4}-\dfrac{8}{b^2}-\dfrac{b^2}{2}+\dfrac 4b}{b-2}=\dfrac {b^2}{4}+\dfrac{4}{b^2}\geqslant 2,$$而$$b_1=\dfrac{b^2+2b+4}{2b}\geqslant 3,$$于是 $b_n\geqslant 2n+1$．
综上所述，命题得证．