观察下列等式：\[\begin{split}
&1-\dfrac 12=\dfrac 12,\\
&1-\dfrac 12+\dfrac 13-\dfrac 14=\dfrac 13 +\dfrac 14,\\
&1-\dfrac 12+\dfrac 13-\dfrac 14+\dfrac 15-\dfrac 16=\dfrac 14 +\dfrac 15+\dfrac 16,\\
&\cdots,\\\end{split}\]据此规律，第 $n$ 个等式可为 ．
&1-\dfrac 12=\dfrac 12,\\
&1-\dfrac 12+\dfrac 13-\dfrac 14=\dfrac 13 +\dfrac 14,\\
&1-\dfrac 12+\dfrac 13-\dfrac 14+\dfrac 15-\dfrac 16=\dfrac 14 +\dfrac 15+\dfrac 16,\\
&\cdots,\\\end{split}\]据此规律，第 $n$ 个等式可为
【难度】
【出处】
2015年高考陕西卷（文）
【标注】
【答案】
$1-\dfrac 12+\dfrac 13-\dfrac 14+\cdots +\dfrac {1}{2n-1}-\dfrac {1}{2n}=\dfrac {1}{n+1}+\dfrac 1{n+2}+\cdots +\dfrac 1{2n}$
【解析】
容易归纳出第 $n$ 个等式为$$1-\dfrac 12+\dfrac 13-\dfrac 14+\cdots +\dfrac {1}{2n-1}-\dfrac {1}{2n}=\dfrac {1}{n+1}+\dfrac 1{n+2}+\cdots +\dfrac 1{2n}.$$一个简单的证明为\[\begin{split} 1-\dfrac 12+\dfrac 13-\dfrac 14+\cdots +\dfrac {1}{2n-1}-\dfrac {1}{2n}&=1+\dfrac 12+\dfrac 13+\cdots +\dfrac 1{2n}-2\cdot\left(\dfrac 12+\dfrac 14+\cdots +\dfrac 1{2n}\right)\\&=1+\dfrac 12+\dfrac 13+\cdots +\dfrac 1{2n}-\left(1+\dfrac 12+\cdots +\dfrac 1n\right)\\&=\dfrac{1}{n+1}+\dfrac{1}{n+2}+\cdots+\dfrac{1}{2n}.\end{split}\]
题目
答案
解析
备注
