设 $a$ 为正整数，数列 $\{x_n\}$ 满足 $x_1=a$，$x_{n+1}=\left[\dfrac {x_n+\left[\frac {a}{x_n}\right ]}{2}\right ](n\in\mathbb{N}^{\ast})$，其中 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，现有下列命题：
① 当 $a=5$ 时，数列 $\{x_n\}$ 的前 $3$ 项依次为 $5,3,2$；
② 对数列 $\{x_n\}$ 都存在正整数 $k$，当 $n\geqslant k$ 时，总有 $x_n=x_k$；
③ 当 $n\geqslant 1$ 时，$x_n>\sqrt a-1$；
④ 对某个正整数 $k$，若 $x_{k+1}\geqslant x_k$，则 $x_k=\left[\sqrt{a}\right]$．
其中真命题有 ．（写出所有真命题的编号）
① 当 $a=5$ 时，数列 $\{x_n\}$ 的前 $3$ 项依次为 $5,3,2$；
② 对数列 $\{x_n\}$ 都存在正整数 $k$，当 $n\geqslant k$ 时，总有 $x_n=x_k$；
③ 当 $n\geqslant 1$ 时，$x_n>\sqrt a-1$；
④ 对某个正整数 $k$，若 $x_{k+1}\geqslant x_k$，则 $x_k=\left[\sqrt{a}\right]$．
其中真命题有
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
②③④
【解析】
直接验证即可知命题 ① 正确．
当 $a=3$ 时，\begin{align*}x_n=\begin{cases}
3,&n=1,\\
2,&n=2k\left(k\in\mathbb{N}^{*}\right),\\
1,&n=2k+1\left(k\in\mathbb{N}^{*}\right),
\end{cases}\end{align*}所以命题 ② 错误．
数列 $\left\{x_n\right\}$ 的各项显然均为正整数，故由$$\left[\dfrac{[x]}n\right]=\left[\dfrac xn\right],$$和高斯函数的保序性可知，当 $n \geqslant 1$ 时，\begin{align*}
x_{n+1}&=\left[\dfrac{x_n+\left[\dfrac{a}{x_n}\right]}{2}\right]\\
&=\left[\dfrac{\left[x_n+\dfrac{a}{x_n}\right]}{2}\right]\\
&=\left[\dfrac{x_n+\dfrac{a}{x_n}}{2}\right]\\
&\geqslant \left[\sqrt{a} \right]\\
&>\sqrt{a}-1,
\end{align*}又 $x_1=a>\sqrt{a}-1$，故命题 ③ 正确．
由命题 ③ 的证明过程可知，对某个正整数 $k$，若 $x_{k+1} \geqslant x_k$，则\begin{align*}x_k&\leqslant x_{k+1}\\
&=\left[\dfrac{x_k+\dfrac{a}{x_k}}{2}\right]\\
&\leqslant \dfrac{x_k+\dfrac{a}{x_k}}{2},
\end{align*}解得 $x_k \leqslant \sqrt{a}$．
又由命题 ③ 可知，$x_k>\sqrt{a}-1$，故 $\sqrt{a}-1<x_k \leqslant \sqrt{a}$，而 $x_k$ 是正整数，所以 $x_k=\left[\sqrt{a} \right]$，故命题 ④ 正确．
当 $a=3$ 时，\begin{align*}x_n=\begin{cases}
3,&n=1,\\
2,&n=2k\left(k\in\mathbb{N}^{*}\right),\\
1,&n=2k+1\left(k\in\mathbb{N}^{*}\right),
\end{cases}\end{align*}所以命题 ② 错误．
数列 $\left\{x_n\right\}$ 的各项显然均为正整数，故由$$\left[\dfrac{[x]}n\right]=\left[\dfrac xn\right],$$和高斯函数的保序性可知，当 $n \geqslant 1$ 时，\begin{align*}
x_{n+1}&=\left[\dfrac{x_n+\left[\dfrac{a}{x_n}\right]}{2}\right]\\
&=\left[\dfrac{\left[x_n+\dfrac{a}{x_n}\right]}{2}\right]\\
&=\left[\dfrac{x_n+\dfrac{a}{x_n}}{2}\right]\\
&\geqslant \left[\sqrt{a} \right]\\
&>\sqrt{a}-1,
\end{align*}又 $x_1=a>\sqrt{a}-1$，故命题 ③ 正确．
由命题 ③ 的证明过程可知，对某个正整数 $k$，若 $x_{k+1} \geqslant x_k$，则\begin{align*}x_k&\leqslant x_{k+1}\\
&=\left[\dfrac{x_k+\dfrac{a}{x_k}}{2}\right]\\
&\leqslant \dfrac{x_k+\dfrac{a}{x_k}}{2},
\end{align*}解得 $x_k \leqslant \sqrt{a}$．
又由命题 ③ 可知，$x_k>\sqrt{a}-1$，故 $\sqrt{a}-1<x_k \leqslant \sqrt{a}$，而 $x_k$ 是正整数，所以 $x_k=\left[\sqrt{a} \right]$，故命题 ④ 正确．
题目
答案
解析
备注
