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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
15318 59b73411b049650008cb66fb 高中 解答题 自招竞赛 设数列 $\{a_n\}$ 定义为 $a_1=1$，$$a_{n+1}=\begin{cases}a_n+n,&a_n\leqslant n,\\a_n-n,&a_n>n,\end{cases}n=1,2,\cdots.$$求满足 $a_r<r\leqslant3^{2017}$ 的正整数 $r$ 的个数． 2022-04-17 19:35:12
15316 59ba35d398483e0009c730fe 高中 解答题 高中习题 已知 $a_0=\dfrac 12$，$a_k=a_{k-1}+\dfrac 1na_{k-1}^2$（$k=1,2,\cdots,n$），求证：$1-\dfrac 1n<a_n<1$． 2022-04-17 19:33:12
15314 59ba35d398483e0009c73146 高中 解答题 高中习题 设 $a_1>\dfrac{1}{12}$，且 $a_{n+1}=\sqrt{(n+2)a_n+1}$，$n\in\mathbb N^{\ast}$． 2022-04-17 19:32:12
15313 59ba41b698483e000a5244cb 高中 解答题 高中习题 已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_0=1$，$a_{n+1}=\dfrac{a_n}{1+a_n^2}$（$n\in\mathbb N$）． 2022-04-17 19:32:12
15309 59bb3cf977c760000717e3de 高中 解答题 自招竞赛 求所有正实数数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_n^2=1+na_{n+1}$，且有无穷多个 $k\in\mathbb N^*$，使得 $a_k<2^k$． 2022-04-17 19:30:12
15300 59cbb75f1d3b200007f98ec9 高中 解答题 高中习题 已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=2$，$a_{n+1}=2+\dfrac n{a_n}$，$n\in\mathbb N^{\ast}$，求证：$1+\sqrt n\leqslant a_n <1+\sqrt{n+1}$． 2022-04-17 19:26:12
15288 5a2f6cae8755e900075a358c 高中 解答题 自招竞赛 数列 $\{a_n\}$ 中，$a_1=1$，$a_n-a_{n+1}=a_{n+1}+3a_na_{n+1}$． 2022-04-17 19:19:12
15284 5a4b570234d6f9000837b93d 高中 解答题 自招竞赛 数列 $\{a_n\},\{b_n\}$ 满足 $a_1=1$，$b_1=2$，$a_{n+1}=\dfrac{1+a_n+a_nb_n}{b_n}$，$b_{n+1}=\dfrac{1+b_n+a_nb_n}{a_n}$，求证：$a_{2013}<5$． 2022-04-17 19:18:12
15280 5a4de36ec0972c000a466d4c 高中 解答题 自招竞赛 已知 $a_1\in(0,1)$，$a_{n+1}=a_n+\dfrac{a_n^2}{n^2}$（$n\in\mathbb N^{\ast}$），求证：存在 $M>0$，使得对任意正整数 $n$，有 $a_n<M$． 2022-04-17 19:16:12
15279 5a59a73b1ccf880007caa4b0 高中 解答题 高中习题 已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=1$，$a_{n+1}=a_n+\dfrac{1}{a_n}$，求证：当 $n\geqslant 2$ 时，有\[\sqrt{2n+\dfrac 13\ln (n-1)}\leqslant a_n\leqslant \sqrt{2n+\dfrac 12\ln (n-1)}.\] 2022-04-17 19:15:12
15277 5a7038119bb0f20008eafcbe 高中 解答题 高中习题 已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_n=8$，$a_{n+1}=\dfrac 12a_{n}^2-4$，求 $\{a_n\}$ 的通项公式． 2022-04-17 19:14:12
15267 5c6a44a9210b281dbaa93367 高中 解答题 自招竞赛 设 ${{x}_{1}}=97$，对于 $n>1$，令 ${{x}_{n}}=\frac{n}{{{x}_{n-1}}}$，求连乘积 ${{x}_{1}}{{x}_{2}}\cdots {{x}_{8}}$． 2022-04-17 19:09:12
15264 5c6a44bf210b281db9f4c741 高中 解答题 自招竞赛 选定整数序数 ${{a}_{1}}$，${{a}_{2}}$，${{a}_{3}}$，…，使得 ${{a}_{n}}={{a}_{n-1}}-{{a}_{n-2}}$，其中 $n\geqslant 3$．如果前1492项的和是1985，而前1985项的和是1492，那么前2001项的和是多少？ 2022-04-17 19:07:12
15258 5c6a4e67210b281db9f4c771 高中 解答题 自招竞赛 把所有3的方幂及互不相等的3的方幂的和排列成一个递增序列：1，3，4，9，10，12，13，…，求这个序列的第100项（这里1是第一项，3是第二项，…）． 2022-04-17 19:05:12
15237 5c6e3bc9210b281db9f4ca55 高中 解答题 自招竞赛 一个心烦的学生走过一个大厅，大厅中有一排关着的柜子，柜子从1到1024编号，他打开1号柜之后朝前走，交替地不碰动或者打开每一个关着的柜子．当他走到大厅的末端，他转过身重新往回走，他打开遇到的第一个关着的柜子，跳过第二个关着的柜子，打开第三个关着的柜子……这学生按这方式来来回回走来走去，直到每个柜子都打开，他打开的最后一个柜子的号码是什么？ 2022-04-17 19:52:11
15234 5c6f6323210b280151d749d0 高中 解答题 自招竞赛 已知 $\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{35}{\sin 5k=\tan \frac{m}{n}}$，这里角的单位为度，$m$，$n$ 为互素的正整数且满足 $\frac{m}{n}<90$．求 $m+n$． 2022-04-17 19:51:11
15231 5c6fb654210b28428f14c959 高中 解答题 自招竞赛 试求最接近 $\displaystyle 1000\sum\limits_{n=3}^{10000}{\frac{1}{{{n}^{2}}-4}}$ 的整数值． 2022-04-17 19:49:11
15226 5c74b7f5210b284290fc2312 高中 解答题 自招竞赛 设 $m$ 是一个正整数，集合 $A$ 由总和为 $2m$ 的 $m$ 个连续的整数构成，集合 $B$ 由总和为 $m$ 的 $2m$ 个连续的整数构成。已知集合 $A$ 中最大元素与集合 $B$ 中最大元素之差的绝对值是 $99$，求 $m$ 。 2022-04-17 19:47:11
15215 5c75fffb210b28428f14cd45 高中 解答题 自招竞赛 一个整数的十进制表示法为 ${{a}_{1}}{{a}_{2}}{{a}_{3}}$ …… ${{a}_{k}}$，若当 ${{a}_{i}}$ 为奇数时 ${{a}_{i}}<{{a}_{i+1}}$，当 ${{a}_{i}}$ 为偶数时 ${{a}_{i}}>{{a}_{i+1}}$，则称这个整数具有单调性和奇偶性。在所有的四位数中，这样的整数有多少个？ 2022-04-17 19:42:11
15212 5c763c31210b28428f14ce16 高中 解答题 自招竞赛 数列 $\left\{ {{a}_{n}} \right\}$ 满足 ${{a}_{1}}=1$ 且 ${{5}^{{{a}_{n-1}}-{{a}_{n}}}}-1=\frac{1}{n+\frac{2}{3}}$ 对所有的 $n\geqslant 1$ 成立．设 $k$ 是大于1且使得 ${{a}_{k}}$ 是整数的最小整数，求 $k$． 2022-04-17 19:40:11
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