查看数据源：59cbb75f1d3b200007f98ec9
已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=2$，$a_{n+1}=2+\dfrac n{a_n}$，$n\in\mathbb N^{\ast}$，求证：$1+\sqrt n\leqslant a_n <1+\sqrt{n+1}$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
  • 数学竞赛
    >
    数列
    >
    数列不等式
  • 方法
    >
    论述方式
    >
    数学归纳法
    >
    第一数学归纳法
  • 题型
    >
    不等式
    >
    数列不等式的证明
【答案】
略
【解析】
用数学归纳法．
归纳基础当 $n=1$ 时，命题显然成立；
递推证明假设当 $n=k$（$k\in\mathbb N^{\ast}$）时命题成立，也即\[1+\sqrt k\leqslant a_k<1+\sqrt{k+1},\]则当 $n=k+1$ 时，有\[2+\dfrac{k}{1+\sqrt{k+1}}<a_{k+1}\leqslant 2+\dfrac{k}{1+\sqrt k},\]接下来尝试证明\[\begin{split} 2+\dfrac{k}{1+\sqrt{k+1}}\geqslant 1+\sqrt{k+1},\\ 2+\dfrac{k}{1+\sqrt k}<1+\sqrt{k+2}.\end{split}\]第一个不等式也即\[k\geqslant \left(\sqrt{k+1}-1\right)\cdot \left(\sqrt{k+1}+1\right)=k,\]成立．
第二个不等式也即\[\dfrac{k}{1+\sqrt{k}}<\sqrt{k+2}-1=\dfrac{k+1}{1+\sqrt{k+2}},\]也即\[k+\sqrt{k^2(k+2)}<k+\sqrt {(k+1)^2k}+1,\]成立．
综上所述，原命题得证．
答案 解析 备注
0.119500s