数列 $\left\{ {{a}_{n}} \right\}$ 满足 ${{a}_{1}}=1$ 且 ${{5}^{{{a}_{n-1}}-{{a}_{n}}}}-1=\frac{1}{n+\frac{2}{3}}$ 对所有的 $n\geqslant 1$ 成立．设 $k$ 是大于1且使得 ${{a}_{k}}$ 是整数的最小整数，求 $k$．
【难度】
【出处】
2009年第27届美国数学邀请赛Ⅰ（AIMEⅠ）
【标注】
【答案】
41
【解析】
将等式进行整理并两边取以5为底的对数可得：
${{a}_{n+1}}-{{a}_{n}}={{\log}_{5}}\left( 3n+5 \right)-{{\log }_{5}}\left( 3n+2 \right)$
取 $n=1 , 2 ,3 \ldots $ 得到的等式并相加得到 ${{a}_{n+1}}-1={{\log }_{5}}\left( 3n+5 \right)-1$，故数列的通项公式为 ${{a}_{n}}={{\log}_{5}}\left( 3n+2 \right)$．要使得 ${{a}_{n}}$ 为整数，$3n+2$ 必须是 $5$ 的正整数幂．大于 $1\cdot 3+2=5$ 且形为 $3k+2$ 的5的最小正整数幂为 ${{5}^{3}}\text{=}125\text{=}3\cdot41+2$．故 $k=41$．
${{a}_{n+1}}-{{a}_{n}}={{\log}_{5}}\left( 3n+5 \right)-{{\log }_{5}}\left( 3n+2 \right)$
取 $n=1 , 2 ,3 \ldots $ 得到的等式并相加得到 ${{a}_{n+1}}-1={{\log }_{5}}\left( 3n+5 \right)-1$，故数列的通项公式为 ${{a}_{n}}={{\log}_{5}}\left( 3n+2 \right)$．要使得 ${{a}_{n}}$ 为整数，$3n+2$ 必须是 $5$ 的正整数幂．大于 $1\cdot 3+2=5$ 且形为 $3k+2$ 的5的最小正整数幂为 ${{5}^{3}}\text{=}125\text{=}3\cdot41+2$．故 $k=41$．
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