一个整数的十进制表示法为 ${{a}_{1}}{{a}_{2}}{{a}_{3}}$ …… ${{a}_{k}}$，若当 ${{a}_{i}}$ 为奇数时 ${{a}_{i}}<{{a}_{i+1}}$，当 ${{a}_{i}}$ 为偶数时 ${{a}_{i}}>{{a}_{i+1}}$，则称这个整数具有单调性和奇偶性。在所有的四位数中，这样的整数有多少个？
【难度】
【出处】
2007年第25届美国数学邀请赛Ⅱ（AIMEⅡ）
【标注】
【答案】
640
【解析】
设 ${{a}_{1}}{{a}_{2}}{{a}_{3}}$ … ${{a}_{k}}$ 为具有单调性和奇偶性的整数的十进制表示。不难发现对于每个确定的 ${{a}_{i+1}}$，${{a}_{i}}$ 都有四个取值。比如，若 ${{a}_{i+1}}=8$ 或 $9$，那么 ${{a}_{i}}\in \left\{ 1 ,3 ,5 ,7 \right\}$，若 ${{a}_{i+1}}=4$ 或 $5$，那么 ${{a}_{i}}\in \left\{ 1 ,3 ,6 ,8 \right\}$，以此类推。任意数字中 ${{a}_{k}}$ 有 $10$ 种选择，剩下数位上的数字都有 $4$ 种选择，因此，一个 $k$ 位数共有 ${{4}^{k-1}}$ 。 $10$ 个具有单调性和奇偶性的整数，那么四位数中共有 ${{4}^{3}}\cdot 10=640$ 个。
答案
解析
备注
