数列 $\{a_n\}$ 中，$a_1=1$，$a_n-a_{n+1}=a_{n+1}+3a_na_{n+1}$．
【难度】
【出处】
2005年第十六届“希望杯”全国数学邀请赛高二（二试）
【标注】
-
求数列 $\{a_n\}$ 的通项公式；标注答案$a_n=\dfrac1{2^{n+1}-3},n\in\mathbb N^\ast$解析显然 $a_n\neq 0,n\in\mathbb N^\ast$．给题中所给的条件等式两边同除以 $a_na_{n+1}$ 可得$$\dfrac1{a_{n+1}}=\dfrac 2{a_n}+3,n\in\mathbb N^\ast,$$所以$$\dfrac1{a_{n+1}}+3=2\left(\dfrac1{a_n}+3\right),a_1=1,n\in\mathbb N^\ast.$$所以$$\dfrac 1{a_n}+3=4\cdot 2^{n-1}=2^{n+1},n\in\mathbb N^\ast,$$即有$$a_n=\dfrac1{2^{n+1}-3},n\in\mathbb N^\ast.$$
-
已知 $y=f(x)$ 是偶函数，且对任何 $x$ 都有 $f(1+x)=f(1-x)$，当 $x\in[-2,-1]$ 时，$f(x)={\log_2}|x+1|$．求使 $f(x)+a_n<0,n\in\mathbb N^{\ast}$ 恒成立的 $x$ 的取值范围．标注答案$\left(-1+2k,-\dfrac12+2k\right)\cup\left(\dfrac12+2k,1+2k\right)$，$k\in\mathbb Z.$解析根据题意因为 $f(x)$ 为偶函数，并且 $f(1+x)=f(1-x)$，所以 $f(x)$ 是以 $2$ 为周期的周期函数．
先求出 $x\in(-1,1)$ 时，不等式 $f(x)+a_n<0$ 的解集．
当 $x\in[0,1)$ 时，$x-2\in[-2,-1)$，所以$$f(x)=f(x-2)={\log_2}(1-x),$$由于 $a_n$ 单调递减，因此要使得$$f(x)+a_n<0,n\in\mathbb N^\ast$$恒成立，只需 $f(x)+a_1<0$，解得$$\dfrac12<x<1.$$因为 $f(x)$ 为偶函数，故当 $x\in(-1,0)$ 时 同理可解得$$ -1<x<-\dfrac12,$$由于 $f(x)$ 是以 $2$ 为周期的周期函数，因此使得 $f(x)+a_n<0,n\in\mathbb N^\ast$ 恒成立的自变量 $x$ 的取值范围为$$\left(-1+2k,-\dfrac12+2k\right)\cup\left(\dfrac12+2k,1+2k\right),k\in\mathbb Z.$$
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
