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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
15751 590824f3060a050008e621fb 高中 解答题 高中习题 已知 $(1-x)^n=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots +a_nx^n$，求 $\displaystyle \sum\limits_{k=0}^n\dfrac{1}{a_k}$． 2022-04-17 19:36:16
15738 5909817839f91d0008f05018 高中 解答题 高中习题 求所有的整系数多项式 $P(x)$，使得存在一个无穷项整数数列 $\{a_n\}$，其中任意两项互不相等，且满足：$P(a_1)=0$，$P(a_{k+1})=a_k$（$k=1,2,\cdots $）． 2022-04-17 19:29:16
15732 5909878b39f91d0009d4c054 高中 解答题 高中习题 已知 $f(x)$ 是四次多项式，且满足 $f(k)=\dfrac 1k$，其中 $k=1,2,3,4,5$，求 $f(6)$ 的值． 2022-04-17 19:26:16
15697 590ada436cddca0008610f44 高中 解答题 自招竞赛 构造整系数多项式函数 $f(x)$，使 $f\left(\sin 10^\circ\right)=0$． 2022-04-17 19:06:16
15678 590c250f857b4200092b065c 高中 解答题 自招竞赛 求证：$\displaystyle \dfrac{{\prod\limits_{k = 1}^{2m} {\left( {1 - {x^k}} \right)} \cdot \prod\limits_{k = 1}^{2n} {\left( {1 - {x^k}} \right)} }}{{\prod\limits_{k = 1}^m {\left( {1 - {x^k}} \right)} \cdot \prod\limits_{k = 1}^n {\left( {1 - {x^k}} \right) \cdot \prod\limits_{k = 1}^{m + n} {\left( {1 - {x^k}} \right)} } }}$ 为关于 $x$ 的整系数多项式． 2022-04-17 19:56:15
15639 59126b13e020e700094b0ab7 高中 解答题 自招竞赛 设 $f\left( x \right) = \left( {1 + a} \right){x^4} + {x^3} - \left( {3a + 2} \right){x^2} - 4a$，试证明对任意实数 $a$： 2022-04-17 19:33:15
15636 591271f9e020e700094b0b2c 高中 解答题 自招竞赛 某二项展开式中，相邻 $a$ 项的二项式系数之比为 $1:2:3: \cdots :a$，求二项式的次数和 $a$． 2022-04-17 19:31:15
15608 5912b490e020e700094b0d26 高中 解答题 自招竞赛 请找出一个整系数多项式方程 $f\left(x \right)$ $=0 $，使得 $ \sqrt{2}+\sqrt[3]{3}$ 是其一个根． 2022-04-17 19:13:15
15599 5912ba6ee020e7000878fa06 高中 解答题 自招竞赛 若函数形式为 $f\left( {x,y} \right) = a\left( x \right)b\left( y \right) + c\left( x \right)d\left( y \right)$，其中 $a\left( x \right) ,c\left( x \right)$ 为关于 $x$ 的多项式，$b\left( y \right),d\left( y \right)$ 为关于 $y$ 的多项式，则称 $f\left( {x ,y} \right)$ 为 $P$ 类函数，判断下列函数是否是 $P$ 类函数，并说明理由． 2022-04-17 19:09:15
15527 596342863cafba00083374ef 高中 解答题 自招竞赛 证明：对任意整数 $n\geqslant 4$，存在一个 $n$ 次多项式$$f(x)=x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_1x+a_0$$具有如下性质：
$(1)$ $a_0,a_1,\cdots ,a_{n-1}$ 均为正整数；
$(2)$ 对任意正整数 $m$，及任意 $k(k\geqslant 2)$ 个互不相同的正整数 $r_1,r_2,\cdots ,r_k$，均有$$f(m)\ne f(r_1)f(r_2)\cdots f(r_k).$$		 2022-04-17 19:27:14
15305 59bb3cfa77c760000717e3e8 高中 解答题 自招竞赛 对任意次数不小于 $2$ 的实系数多项式 $f(x)$，定义 $f^{(1)}(x)=f(x)$，$f^{(k)}(x)=f(f^{(k-1)}(x))$（$k\geqslant 2$ 且为正整数）．给定正整数 $u,v$，其中 $u<v$．证明：满足 $1\leqslant i<j\leqslant v$，$f^{(j)}(x)-f^{(i)}(x)\mid f^{(v)}(x)-f^{(u)}(x)$ 的有序整数对 $(i,j)$ 的对数与该次数不小于 $2$ 的多项式 $f$ 的选取无关，并求出这个定值． 2022-04-17 19:27:12
15293 5a0e7de8aaa1af00079caa00 高中 解答题 自招竞赛 已知多项式函数 $f(x)$． 2022-04-17 19:22:12
15292 5a24c558f25ac10009ad6e45 高中 解答题 自招竞赛 将实数 $(3+2\sqrt 2)^{2017}$ 写成小数形式，求它的十分位数字． 2022-04-17 19:22:12
15275 5a71f87f9bb0f20008eafd11 高中 解答题 自招竞赛 请找出一个整系数多项式方程 $f\left(x \right)$ $=0 $，使得 $ \sqrt{2}+\sqrt[3]{3}$ 是其一个根． 2022-04-17 19:13:12
15256 5c6a4e89210b281dbaa933cd 高中 解答题 自招竞赛 设多项式 $1-x+{{x}^{2}}-{{x}^{3}}+\cdots +{{x}^{16}}-{{x}^{17}}$ 可以写成 ${{a}_{0}}+{{a}_{1}}y+{{a}_{2}}{{y}^{2}}+{{a}_{3}}{{y}^{3}}+\cdots +{{a}_{16}}{{y}^{16}}+{{a}_{17}}{{y}^{17}}$，其中 $y=x+1$，并且诸 ${{a}_{i}}$ 都是常数，求 ${{a}_{12}}$． 2022-04-17 19:03:12
15250 5c6a5eff210b281db9f4c7ee 高中 解答题 自招竞赛 如果 $a$，$b$ 是整数，且 ${{x}^{2}}-x-1$ 是 $a{{x}^{17}}+b{{x}^{16}}+1$ 的因式．试求 $a$ 的值． 2022-04-17 19:00:12
15243 5c6cbdd3210b281db9f4c948 高中 解答题 自招竞赛 设 ${{P}_{0}}\left( x \right)={{x}^{3}}+313{{x}^{2}}-77x-8$，当整数 $n\geqslant 1$ 时，有 ${{P}_{n}}\left( x \right)={{P}_{n-1}}\left( x-n \right)$．问在 ${{P}_{20}}\left( x \right)$ 中 $x$ 项的系数是多少？ 2022-04-17 19:56:11
15239 5c6e3b7f210b281dbaa935ea 高中 解答题 自招竞赛 求最小的正整数 $n$，使得 ${{\left( xy-3x+7y-21 \right)}^{n}}$ 的展开式经同类项合并后至少有1996项． 2022-04-17 19:54:11
15238 5c6e3b95210b281db9f4ca3f 高中 解答题 自招竞赛 假设 ${{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+4x-11=0$ 的根是 $a$，$b$，$c$，${{x}^{3}}+r{{x}^{2}}+sx+t=0$ 的根是 $a+b$，$b+c$，$c+a$，求 $t$． 2022-04-17 19:53:11
15228 5c74aba2210b28428f14cb34 高中 解答题 自招竞赛 给定多项式 $P\left( x \right)={{x}^{6}}-{{x}^{5}}-{{x}^{3}}-{{x}^{2}}-x$，$Q\left( x \right)={{x}^{4}}-{{x}^{3}}-{{x}^{2}}-1$，设 ${{z}_{1}} {{z}_{2}} {{z}_{3}} {{z}_{4}}$ 为 $Q\left( x \right)=0$ 的根，求 $P\left( {{z}_{1}} \right)+P\left( {{z}_{2}} \right)+P\left( {{z}_{3}} \right)+P\left( {{z}_{4}} \right)$． 2022-04-17 19:48:11
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