求最小的正整数 $n$，使得 ${{\left( xy-3x+7y-21 \right)}^{n}}$ 的展开式经同类项合并后至少有1996项．
【难度】
【出处】
1996年第14届美国数学邀请赛（AIME）
【标注】
【答案】
44
【解析】
${{\left( xy-3x+7y-21 \right)}^{n}}={{\left( x+7\right)}^{n}}{{\left( y-3 \right)}^{n}}$，${{\left( x+7\right)}^{n}}$ 展开有 $n+1$ 项，${{\left( y-3 \right)}^{n}}$ 展开也有 $n+1$ 项，前者是 $x$ 幂，后者是 $y$ 的幂，各不相同，所以 ${{\left(x+7 \right)}^{n}}{{\left( y-3 \right)}^{n}}$ 有 ${{\left( n+1\right)}^{2}}$ 项，这些项或 $x$ 的次数不同，或 $y$ 次数不同，均无法合并．
为了使 ${{\left( n+1\right)}^{2}}\geqslant 1996$，必须 $n\geqslant \sqrt{1996}-1$，得 $n\geqslant 44$，即所求最小的正整数为44．
为了使 ${{\left( n+1\right)}^{2}}\geqslant 1996$，必须 $n\geqslant \sqrt{1996}-1$，得 $n\geqslant 44$，即所求最小的正整数为44．
答案
解析
备注
