证明：对任意整数 $n\geqslant 4$，存在一个 $n$ 次多项式$$f(x)=x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_1x+a_0$$具有如下性质：
$(1)$ $a_0,a_1,\cdots ,a_{n-1}$ 均为正整数；
$(2)$ 对任意正整数 $m$，及任意 $k(k\geqslant 2)$ 个互不相同的正整数 $r_1,r_2,\cdots ,r_k$，均有$$f(m)\ne f(r_1)f(r_2)\cdots f(r_k).$$
$(1)$ $a_0,a_1,\cdots ,a_{n-1}$ 均为正整数；
$(2)$ 对任意正整数 $m$，及任意 $k(k\geqslant 2)$ 个互不相同的正整数 $r_1,r_2,\cdots ,r_k$，均有$$f(m)\ne f(r_1)f(r_2)\cdots f(r_k).$$
【难度】
【出处】
2011年全国高中数学联赛（二试）
【标注】
【答案】
略
【解析】
令$$f(x)=(x+1)(x+2)\cdot(x+n)+2\cdots {\text{ ① }}$$将 ① 的右边展开即知 $f(x)$ 是一个首项系数为 $1$ 的正整数系数的 $n$ 次多项式，所以 $f(x)$ 满足条件 $(1)$．
下面证明 $f(x)$ 满足性质 $(2)$．
对任意整数 $t$，由于 $n\geqslant 4$，故连续的 $n$ 个整数 $t+1,t+2,\cdots ,t+n$ 中必有一个为 $4$ 的倍数，从而由 ① 知$$f(t)\equiv 2({\rm mod} 4),$$因此，对任意 $k(k\geqslant 2)$ 个正整数 $r_1,r_2,\cdots,r_k$，有$$f(r_1)f(r_2)\cdots f(r_k)\equiv 2^k\equiv 0({\rm mod}4).$$但对任意正整数 $m$，有 $f(m)\equiv 2({\rm mod}4)$，故$$f(m)\not\equiv f(r_1)f(r_2)\cdots f(r_k)({\rm mod}4),$$从而$$f(m)\ne f(r_1)f(r_2)\cdots f(r_k),$$所以 $f(x)$ 符合题设要求．
下面证明 $f(x)$ 满足性质 $(2)$．
对任意整数 $t$，由于 $n\geqslant 4$，故连续的 $n$ 个整数 $t+1,t+2,\cdots ,t+n$ 中必有一个为 $4$ 的倍数，从而由 ① 知$$f(t)\equiv 2({\rm mod} 4),$$因此，对任意 $k(k\geqslant 2)$ 个正整数 $r_1,r_2,\cdots,r_k$，有$$f(r_1)f(r_2)\cdots f(r_k)\equiv 2^k\equiv 0({\rm mod}4).$$但对任意正整数 $m$，有 $f(m)\equiv 2({\rm mod}4)$，故$$f(m)\not\equiv f(r_1)f(r_2)\cdots f(r_k)({\rm mod}4),$$从而$$f(m)\ne f(r_1)f(r_2)\cdots f(r_k),$$所以 $f(x)$ 符合题设要求．
答案
解析
备注
