假设 ${{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+4x-11=0$ 的根是 $a$，$b$，$c$，${{x}^{3}}+r{{x}^{2}}+sx+t=0$ 的根是 $a+b$，$b+c$，$c+a$，求 $t$．
【难度】
【出处】
1996年第14届美国数学邀请赛（AIME）
【标注】
【答案】
23
【解析】
由第一个方程应用韦达定理得 $a+b+c=-3$．
从而 $a+b=-3-c$，$b+c=-3-a$，$c+a=-3-b$．
由第二个方程应用韦达定理得
$t=-\left( a+b\right)\left( b+c \right)\left( c+a \right)$
$=-\left( -3-c \right)\left( -3-a\right)\left( -3-b \right)$
$=27+9\left( a+b+c \right)+3\left( ab+bc+ca\right)+abc$．
又由第一个方程应用韦达定理得
$ab+bc+ca=4$，$abc=11$．
故 $t=27-27+12+11=23$．
从而 $a+b=-3-c$，$b+c=-3-a$，$c+a=-3-b$．
由第二个方程应用韦达定理得
$t=-\left( a+b\right)\left( b+c \right)\left( c+a \right)$
$=-\left( -3-c \right)\left( -3-a\right)\left( -3-b \right)$
$=27+9\left( a+b+c \right)+3\left( ab+bc+ca\right)+abc$．
又由第一个方程应用韦达定理得
$ab+bc+ca=4$，$abc=11$．
故 $t=27-27+12+11=23$．
答案
解析
备注
