如果 $a$，$b$ 是整数，且 ${{x}^{2}}-x-1$ 是 $a{{x}^{17}}+b{{x}^{16}}+1$ 的因式．试求 $a$ 的值．
【难度】
【出处】
1988年第6届美国数学邀请赛（AIME）
【标注】
【答案】
987
【解析】
方程 ${{x}^{2}}-x-1=0$ 的根为 $p=\frac{1}{2}\left( 1+\sqrt{5} \right)$，$q=\frac{1}{2}\left(1-\sqrt{5} \right)$．它们必然是 $a{{x}^{17}}+b{{x}^{16}}+1=0$ 的根．
所以 $a{{p}^{17}}+b{{p}^{16}}=-1$，$a{{q}^{17}}+b{{q}^{16}}=-1$．
第一式乘以 ${{q}^{16}}$，第二式乘以 ${{p}^{16}}$，利用 $pq=-1$，得 $ap+b=-{{q}^{16}}$，$aq+b=-{{p}^{16}}$．
两式相减，得 $a\left( p-q\right)={{p}^{16}}-{{q}^{16}}$，
$a=\frac{{{p}^{16}}-{{q}^{16}}}{p-q}=\left({{p}^{8}}+{{q}^{8}} \right)\left( {{p}^{4}}+{{q}^{4}} \right)\left({{p}^{2}}+{{q}^{2}} \right)\left( p+q \right)$．（6）
因为 $p+q=1$，
${{p}^{2}}+{{q}^{2}}={{\left(p+q \right)}^{2}}-2pq=1+2=3$，
${{p}^{4}}+{{q}^{4}}={{\left({{p}^{2}}+{{q}^{2}} \right)}^{2}}-2{{\left( pq \right)}^{2}}=9-2=7$，
${{p}^{8}}+{{q}^{8}}={{\left({{p}^{4}}+{{q}^{4}} \right)}^{2}}-2{{\left( pq \right)}^{4}}=49-2=47$，
所以 $a=47\times 7\times3\times 1=987$．
所以 $a{{p}^{17}}+b{{p}^{16}}=-1$，$a{{q}^{17}}+b{{q}^{16}}=-1$．
第一式乘以 ${{q}^{16}}$，第二式乘以 ${{p}^{16}}$，利用 $pq=-1$，得 $ap+b=-{{q}^{16}}$，$aq+b=-{{p}^{16}}$．
两式相减，得 $a\left( p-q\right)={{p}^{16}}-{{q}^{16}}$，
$a=\frac{{{p}^{16}}-{{q}^{16}}}{p-q}=\left({{p}^{8}}+{{q}^{8}} \right)\left( {{p}^{4}}+{{q}^{4}} \right)\left({{p}^{2}}+{{q}^{2}} \right)\left( p+q \right)$．（6）
因为 $p+q=1$，
${{p}^{2}}+{{q}^{2}}={{\left(p+q \right)}^{2}}-2pq=1+2=3$，
${{p}^{4}}+{{q}^{4}}={{\left({{p}^{2}}+{{q}^{2}} \right)}^{2}}-2{{\left( pq \right)}^{2}}=9-2=7$，
${{p}^{8}}+{{q}^{8}}={{\left({{p}^{4}}+{{q}^{4}} \right)}^{2}}-2{{\left( pq \right)}^{4}}=49-2=47$，
所以 $a=47\times 7\times3\times 1=987$．
答案
解析
备注
