某二项展开式中，相邻 $a$ 项的二项式系数之比为 $1:2:3: \cdots :a$，求二项式的次数和 $a$．
【难度】
【出处】
2004年上海交通大学保送生考试
【标注】
【答案】
二项式的次数为 $14$．$a = 2$ 或 $a = 3$
【解析】
设该二项展开式为 ${\left( {m + t} \right)^n}$，其二项式系数为 ${\mathrm{C}}_n^r\left( {r = 0{\mathrm{,}}1{\mathrm{,}}2{\mathrm{,}}...{\mathrm{,}}n} \right)$．
不妨设$${\mathrm{C}}_n^r:{\mathrm{C}}_n^{r + 1}:{\mathrm{C}}_n^{r + 2}:\cdots:{\mathrm{C}}_n^{r + a - 1} = 1:2:3:...:a.$$由$${\mathrm{C}}_n^r:{\mathrm{C}}_n^{r + 1} = 1:2,$$可得$$n = 3r + 2.$$由$${\mathrm{C}}_n^{r+1}:{\mathrm{C}}_n^{r + 2} = 2:3,$$得$$2n=5r+8,$$解得 $r = 4,n = 14$，故有$${\mathrm{C}}_{14}^4:{\mathrm{C}}_{{\mathrm{14}}}^{\mathrm{5}}:\cdots:{\mathrm{C}}_{14}^{a + 3} = 1:2:\cdots:a,$$从而$${\mathrm{C}}_{14}^{a + 2}:{\mathrm{C}}_{14}^{a + 3} = \left( {a - 1} \right):a,$$解得 $a = 2$ 或 $a = 3$．
事实上，当 $a = 2$ 时，$${\mathrm{C}}_{14}^4:{\mathrm{C}}_{{\mathrm{14}}}^{\mathrm{5}} = 1:2;$$当 $a = 3$ 时，$${\mathrm{C}}_{14}^4:{\mathrm{C}}_{14}^5:{\mathrm{C}}_{14}^6 = 1:2:3.$$
不妨设$${\mathrm{C}}_n^r:{\mathrm{C}}_n^{r + 1}:{\mathrm{C}}_n^{r + 2}:\cdots:{\mathrm{C}}_n^{r + a - 1} = 1:2:3:...:a.$$由$${\mathrm{C}}_n^r:{\mathrm{C}}_n^{r + 1} = 1:2,$$可得$$n = 3r + 2.$$由$${\mathrm{C}}_n^{r+1}:{\mathrm{C}}_n^{r + 2} = 2:3,$$得$$2n=5r+8,$$解得 $r = 4,n = 14$，故有$${\mathrm{C}}_{14}^4:{\mathrm{C}}_{{\mathrm{14}}}^{\mathrm{5}}:\cdots:{\mathrm{C}}_{14}^{a + 3} = 1:2:\cdots:a,$$从而$${\mathrm{C}}_{14}^{a + 2}:{\mathrm{C}}_{14}^{a + 3} = \left( {a - 1} \right):a,$$解得 $a = 2$ 或 $a = 3$．
事实上，当 $a = 2$ 时，$${\mathrm{C}}_{14}^4:{\mathrm{C}}_{{\mathrm{14}}}^{\mathrm{5}} = 1:2;$$当 $a = 3$ 时，$${\mathrm{C}}_{14}^4:{\mathrm{C}}_{14}^5:{\mathrm{C}}_{14}^6 = 1:2:3.$$
答案
解析
备注
