已知 $(1-x)^n=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots +a_nx^n$，求 $\displaystyle \sum\limits_{k=0}^n\dfrac{1}{a_k}$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\displaystyle \sum\limits_{k=0}^n\dfrac{1}{a_k}=\begin{cases} 0,&n\nmid 2,\\ \dfrac{2n+2}{n+2},& n\mid 2.\end{cases}$
【解析】
根据题意，有$$a_k=(-1)^k{\mathrm C}_n^k=\dfrac{(-1)^k\cdot n!}{(n-k)!\cdot k!},$$于是$$\sum_{k=0}^n\dfrac{1}{a_k}=\dfrac{n!-(n-1)!\cdot 1!+(n-2)!\cdot 2!+\cdots +(-1)^{n-1}\cdot 1!\cdot (n-1)!+(-1)^n\cdot n!}{n!},$$当 $n$ 为奇数时，显然有 $\displaystyle \sum\limits_{k=0}^n\dfrac{1}{a_k}=0$．
当 $n$ 为偶数时，考虑到\[\begin{split} &\quad\left[n!\cdot 0!-(n-1)!\cdot 1!+(n-2)!\cdot 2!+\cdots -1!\cdot (n-1)!+0!\cdot n!\right]\cdot (n+2)\\ &=\left[(n+1)!+n!\cdot 1!\right]-\left[n!+(n-1)!\cdot 2!\right]+\cdots -\left[2!\cdot (n-1)!+1!\cdot n!\right]+\left[1!\cdot n!+0!\cdot (n+1)!\right]\\ &=2(n+1)!,\end{split}\]于是$$\sum_{k=0}^n\dfrac{1}{a_k}=\dfrac{2(n+1)!}{n!\cdot (n+2)}=\dfrac{2n+2}{n+2}.$$综上所述，有$$\sum\limits_{k=0}^n\dfrac{1}{a_k}=\begin{cases} 0,&n\nmid 2,\\ \dfrac{2n+2}{n+2},& n\mid 2.\end{cases}$$
当 $n$ 为偶数时，考虑到\[\begin{split} &\quad\left[n!\cdot 0!-(n-1)!\cdot 1!+(n-2)!\cdot 2!+\cdots -1!\cdot (n-1)!+0!\cdot n!\right]\cdot (n+2)\\ &=\left[(n+1)!+n!\cdot 1!\right]-\left[n!+(n-1)!\cdot 2!\right]+\cdots -\left[2!\cdot (n-1)!+1!\cdot n!\right]+\left[1!\cdot n!+0!\cdot (n+1)!\right]\\ &=2(n+1)!,\end{split}\]于是$$\sum_{k=0}^n\dfrac{1}{a_k}=\dfrac{2(n+1)!}{n!\cdot (n+2)}=\dfrac{2n+2}{n+2}.$$综上所述，有$$\sum\limits_{k=0}^n\dfrac{1}{a_k}=\begin{cases} 0,&n\nmid 2,\\ \dfrac{2n+2}{n+2},& n\mid 2.\end{cases}$$
答案
解析
备注
