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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
15409 597e97cbd05b900009165171 高中 解答题 高中习题 已知 $f(x)=x-1-\ln x$，若两相异正实数 $x_1,x_2$ 满足 $f(x_1)=f(x_2)$，求证：$f'(x_1)+f'(x_2)<0$． 2022-04-17 19:24:13
15401 597edeaed05b900009165322 高中 解答题 高中习题 设函数 $f\left( x \right) = \sin \left( {\omega x + \varphi } \right)$，其中 $\omega > 0$，$\varphi \in {\mathbb{R}}$，若存在常数 $T$（$T < 0$），使对任意 $x \in {\mathbb{R}}$ 有 $f\left( {x + T} \right) = T\cdot f\left( x \right)$，则 $\omega $ 可取到的最小值是多少？ 2022-04-17 19:21:13
15391 598811fc5ed01a0008fa5f4d 高中 解答题 自招竞赛 （20分）已知函数 $f(x)=\dfrac{1}{4}(\sin^{2}x-\cos^{2}x+\sqrt 3)-\dfrac{\sqrt 3}{2}\sin^{2}\left(x-\dfrac{\pi}{4}\right)$，$x\in\mathbb R$． 2022-04-17 19:14:13
15390 598811fc5ed01a0008fa5f50 高中 解答题 自招竞赛 已知曲线 $C_{1}:f(x)=\dfrac{1}{2}\left({\rm e}^{x}+{\rm e}^{-x}\right)$，曲线 $C_{2}:g(x)=\dfrac{1}{2}\left({\rm e}^{x}+{\rm e}^{-x}\right)$，直线 $x=a$ 与曲线 $C_{1}$、$C_{2}$ 分别交于点 $A,B$，曲线 $C_{1}$ 在点 $A$ 处的切线为 $l_{1}$，曲线 $C_{2}$ 在点 $B$ 处的切线为 $l_{2}$． 2022-04-17 19:13:13
15387 59881dfe5ed01a0008fa5f71 高中 解答题 自招竞赛 设 $f(x)$ 是定义在 $[1,+\infty)$ 上的增函数，且关于 $x$ 的不等式 $f(k-\cos^{2}x)\leqslant f(k^{2}+\sin x)$ 恒成立．求实数 $k$ 的取值范围． 2022-04-17 19:11:13
15371 59896d0b5a1cff0007a8cb48 高中 解答题 自招竞赛 求所有的正实数对 $(a,b)$，使得函数 $f(x)=ax^{2}+b$ 满足：对任意实数 $x,y$，有\[f(xy)+f(x+y)\geqslant f(x)f(y).\] 2022-04-17 19:02:13
15366 598aa97640b385000cb72ea6 高中 解答题 自招竞赛 求证不等式 $\sin \dfrac 1 n +\sin \dfrac 2 n>\dfrac 3 n\cos \dfrac 1 n(n \in \mathbb N^*)$． 2022-04-17 19:00:13
15361 598abce191e0350007fda02a 高中 解答题 自招竞赛 已知 $A=\left\{x\left|x^2<x\right.\right\},B=\left\{x\left|x^2<\log_a x\right.\right\}$，且 $B\subsetneqq A$，求实数 $a$ 的取值范围． 2022-04-17 19:58:12
15354 598bfad6de229f000aa425e5 高中 解答题 自招竞赛 已知函数 $f(x)=|\sin x|$ 的图象与直线 $y=kx(k>0)$ 有且仅有三个交点，交点的横坐标的最大值为 $\alpha$，求证：$$\dfrac{\cos\alpha}{\sin\alpha+\sin3\alpha}=\dfrac{1+4\alpha^2}{4\alpha}.$$ 2022-04-17 19:53:12
15353 598bfad6de229f000aa425e6 高中 解答题 自招竞赛 解不等式$$\log_2(x^{12}+3x^{10}+5x^8+3x^5+1)<1+\log_2(x^4+1).$$ 2022-04-17 19:53:12
15346 5991668ed2d7460008f2eeaa 高中 解答题 自招竞赛 求函数 $y= 2x + \sqrt{4x^2 - 8x +3}$ 的最小值． 2022-04-17 19:49:12
15344 59916771d2d7460008f2eedb 高中 解答题 自招竞赛 设实数 $a$、$b$、$\lambda$ 满足 $0<a<b$，$0 \leqslant \lambda \leqslant 1 .$ 2022-04-17 19:48:12
15343 59916985d2d7460007299373 高中 解答题 自招竞赛 求证：不存在这样的函数 $f:\mathbb{Z} \to \{1,2,3\} $，满足对任意的整数 $x,y$，若 $\lvert x - y \rvert \in \{2,3,5\}$，则 $f(x) \ne f(y)$． 2022-04-17 19:47:12
15342 59916985d2d7460007299374 高中 解答题 自招竞赛 对任意的 $x$ 和正整数 $n$ 比较 $n\sin^2 x $ 和 $\sin x \sin nx$ 的大小． 2022-04-17 19:46:12
15333 599a4f0f5c8103000906ced0 高中 解答题 自招竞赛 设定义在 $[0,2]$ 上的函数 $f(x)$ 满足下列条件：
① 对于 $x\in [0,2]$，总有 $f(2-x)=f(x)$，且 $f(x)\geqslant 1,f(1)=3$；
② 对于 $x,y\in [1,2]$，若 $x+y\geqslant 3$，则$$f(x)+f(y)\leqslant f(x+y-2)+1.$$证明：		 2022-04-17 19:42:12
15332 599a93defcc07b000a695d3f 高中 解答题 自招竞赛 设函数 $f(x)=x(1+x)^2,x\in (-\infty,0]$． 2022-04-17 19:42:12
15331 599bf2ad2a2e9400074de1af 高中 解答题 高中习题 求 $y = {x^x}$ 的导数． 2022-04-17 19:41:12
15326 59ae77ca00b0ef000951d63e 高中 解答题 自招竞赛 已知实数 $a\in\left(-\dfrac{\pi}2,0\right)$，方程 $\sqrt{2\cos(x+a)-1}=\sin 6x-1$ 有解，求 $a$ 的取值． 2022-04-17 19:39:12
15290 5a26395af25ac10009ad6f01 高中 解答题 自招竞赛 已知函数 $y=f(x)=\sqrt{1+\sqrt{1-x^2}}-\sqrt{1+x}$． 2022-04-17 19:21:12
15283 5a4b57f534d6f90007a58544 高中 解答题 自招竞赛 对任意实数 $x,y$，$f(x+y)=f(x)+f(y)+xy+1$，若 $f(-2)=-2$，求所有满足 $f(a)=a$ 的整数 $a$． 2022-04-17 19:17:12
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