对任意的 $x$ 和正整数 $n$ 比较 $n\sin^2 x $ 和 $\sin x \sin nx$ 的大小．
【难度】
【出处】
2015年全国高中数学联赛山东省预赛
【标注】
【答案】
$n\sin^2 x \geqslant \sin x \sin nx.$
【解析】
$$n \sin^2 x - \sin x \sin nx = \sin x(n\sin x - \sin nx) .$$当 $\sin x = 0$ 时，结论显然成立；
当 $\sin x \ne 0$ 时，可以证明 $\left\lvert \dfrac{\sin nx}{\sin x} \right\rvert \leqslant n .$
事实上，当 $n = 1$ 时，结论显然成立；
假设 $n \leqslant k $ 时，结论成立，当 $n = k +1$ 时，\[\begin{split} \left \lvert \dfrac{\sin(k+1)x}{\sin x} \right \rvert & = \left \lvert \dfrac{\sin kx \cos x + \cos kx\sin x}{\sin x} \right \rvert\\ &=\left \lvert \cos kx + \cos x\dfrac{\sin kx}{\sin x} \right \rvert \\ &\leqslant k+1. \end{split}\]故当 $n = k +1$ 时，结论成立．
由数学归纳法知，$\left \lvert \dfrac{\sin nx}{\sin x} \right \rvert \leqslant n.$
综上所述，$\sin x(n\sin x - \sin nx) \geqslant 0$，即 $n\sin^2 x \geqslant \sin x \sin nx.$
当 $\sin x \ne 0$ 时，可以证明 $\left\lvert \dfrac{\sin nx}{\sin x} \right\rvert \leqslant n .$
事实上，当 $n = 1$ 时，结论显然成立；
假设 $n \leqslant k $ 时，结论成立，当 $n = k +1$ 时，\[\begin{split} \left \lvert \dfrac{\sin(k+1)x}{\sin x} \right \rvert & = \left \lvert \dfrac{\sin kx \cos x + \cos kx\sin x}{\sin x} \right \rvert\\ &=\left \lvert \cos kx + \cos x\dfrac{\sin kx}{\sin x} \right \rvert \\ &\leqslant k+1. \end{split}\]故当 $n = k +1$ 时，结论成立．
由数学归纳法知，$\left \lvert \dfrac{\sin nx}{\sin x} \right \rvert \leqslant n.$
综上所述，$\sin x(n\sin x - \sin nx) \geqslant 0$，即 $n\sin^2 x \geqslant \sin x \sin nx.$
答案
解析
备注
