题目 设实数 $a$、$b$、$\lambda$ 满足 $0<a<b$，$0 \leqslant \lambda \leqslant 1 .$ 问题1 证明：$\ln a +1 \leqslant \dfrac{a\ln a - b\ln b}{a - b} \leqslant \ln b +1$； 答案1 略 解析1 设 $f(x) = (x - b)(\ln x +1) - x\ln x + b \ln b $，由于$$f'(x) = \ln x +1 +1 - \dfrac{b}{x} - \ln x - 1 =1 - \dfrac{b}{x} < 0\quad(0 <x<b),$$并且 $f(b) =0$，则$$f(x) = (x - b)(\ln x +1) - x\ln x + b\ln b >0 \quad (0<x<b).$$因此，对任何 $0<a<b$，都有$$\ln a +1 < \dfrac{a\ln a - b\ln b}{a-b}.$$同理可证 $:\dfrac{a\ln a - b\ln b}{a-b} <\ln b +1.$ 备注1 问题2 证明：$$[\lambda a + (1 - \lambda)b] \ln [\lambda a +(1-\lambda)b] \leqslant \lambda a \ln a + (1-\lambda)b \ln b.$$ 答案2 略 解析2 设 $g(x) = xa\ln a + (1-x)b\ln b - [xa + (1-x)b]\ln [xa + (1-x)b](0 \leqslant x \leqslant 1)$，则\[\begin{split} g'(x) &= a\ln a -b\ln b - (a-b)\ln [xa + (1-x)b] - (a-b) \\ &=(a-b)\left \{\dfrac{a\ln a - b\ln b}{a-b} - \ln [xa + (1-x)b] -1 \right \}, \\<br/>g''(x)& =-\dfrac{(a-b)^2}{xa + (1-x)b}<0.\end{split}\]因此，$g'(x)$ 是减函数．由于 $g(0)=g(1)=0$，并且 $g'(0)>0$，$g'(1)<0$，则由函数图象可知 $g(x) \geqslant 0(0 \leqslant x \leqslant 1)$．即不等式成立． 备注2