设定义在 $[0,2]$ 上的函数 $f(x)$ 满足下列条件：
① 对于 $x\in [0,2]$，总有 $f(2-x)=f(x)$，且 $f(x)\geqslant 1,f(1)=3$；
② 对于 $x,y\in [1,2]$，若 $x+y\geqslant 3$，则$$f(x)+f(y)\leqslant f(x+y-2)+1.$$证明：
① 对于 $x\in [0,2]$，总有 $f(2-x)=f(x)$，且 $f(x)\geqslant 1,f(1)=3$；
② 对于 $x,y\in [1,2]$，若 $x+y\geqslant 3$，则$$f(x)+f(y)\leqslant f(x+y-2)+1.$$证明：
【难度】
【出处】
2008年全国高中数学联赛河北省预赛
【标注】
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$f\left (\dfrac 1{3^n}\right )\leqslant \dfrac 2{3^n}+1(n\in {\mathbb N^*})$；标注答案略解析由 $f(2-x)=f(x)$ 知，函数 $f(x)$ 图象关于直线 $x=1$ 对称，则根据条件 ② 可知：对于 $x,y\in [0,1]$，若 $x+y\leqslant 1$，则$$f(x+y)\geqslant f(x)+f(y)-1.$$设 $x_1,x_2\in [0,1]$，则 $x_1<x_2$，则 $x_2-x_1\in [0,1]$．因此\[\begin{split}&f(x_2)-f(x_1)\\=&f[x_1+(x_2-x_1)]-f(x_1)\\ \geqslant & f(x_1)+f(x_2-x_1)-1-f(x_1)\\=&f(x_2-x_1)-1\\ \geqslant &0, \end{split}\]可知 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上是不减函数．
因为\[\begin{split}f\left(\dfrac 1{3^{n-1}}\right)&=f\left(\dfrac 1{3^n}+\dfrac 1{3^n}+\dfrac 1{3^n}\right)\\ &\geqslant f\left(\dfrac 1{3^n}+\dfrac 1{3^n}\right)+f\left(\dfrac 1{3^n}\right)-1\\&\geqslant 3f\left(\dfrac 1{3^n}\right)-2, \end{split}\]所以\[\begin{split}f\left(\dfrac 1{3^n}\right) &\leqslant \dfrac 13f\left(\dfrac 1{3^{n-1}}\right)+\dfrac 23 \\&\leqslant \dfrac 1{3^2}f\left(\dfrac 1{3^{n-2}}\right)+\dfrac 2{3^2}+\dfrac 23\\&\cdots \\&\leqslant \dfrac 1{3^n}f\left(\dfrac 1{3^{n-n}}\right)+\dfrac 2{3^n}+\cdots +\dfrac 23\\&=\dfrac 1{3^{n-1}}+1-\dfrac 1{3^n}\\&=\dfrac 2{3^n}+1. \end{split}\] -
$x\in [1,2]\text{时,}1\leqslant f(x)\leqslant {13-6x}$．标注答案略解析对于任意 $x\in (0,1]$，则必存在正整数 $n$，使得 $\dfrac 1{3^n}\leqslant x\leqslant \dfrac 1{3^{n-1}}$，因为 $f(x)$ 在 $(0,1]$ 上是不减函数，所以$$f\left(\dfrac 1{3^n}\right)\leqslant f(x)\leqslant f\left(\dfrac 1{3^{n-1}}\right),$$由（$1$）知$$f\left(\dfrac 1{3^{n-1}} \right)\leqslant \dfrac {2}{3^{n-1}}+1=6\times \dfrac {1}{3^n}+1\leqslant 6x+1.$$由条件 ① 可得 $f(2)\geqslant 1$，在条件 ② 中，令 $x=y=2,$ 得 $f(2)\leqslant 1$，因此 $f(2)=1.$ 而 $f(2)=f(0)$，故而 $f(0)=1$，又因为 $f\left(\dfrac 1{3^n}\right)\geqslant f(0)$，可知 $f\left(\dfrac 1{3^n}\right)\geqslant 1$，则当 $x\in [0,1]$，且 $f(x)=f(2-x)$，则$$1\leqslant f(2-x)\leqslant 6(2-x)+1=13-6x.$$因此，当 $x\in [1,2]$ 时，$1\leqslant f(x)\leqslant 13-6x.$
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
